En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , una categoría conectada es una categoría en la que, por cada dos objetos X e Y, hay una secuencia finita de objetos.
con morfismos
o
para cada 0 ≤ i < n (se permiten ambas direcciones en la misma secuencia). De manera equivalente, una categoría J está conectada si cada funtor de J a una categoría discreta es constante. En algunos casos es conveniente no considerar la categoría vacía como conectada.
Una noción más fuerte de la conectividad sería requerir al menos un morfismo f entre cualquier par de objetos X y Y . Cualquier categoría con esta propiedad está conectada en el sentido anterior.
Una categoría pequeña está conectada si y solo si su gráfico subyacente está débilmente conectado , lo que significa que está conectado si se ignora la dirección de las flechas.
Cada categoría J puede ser escrito como una unión de la desunión (o coproducto ) de una colección de categorías conectados, que se llaman los componentes conectados de J . Cada componente conectado es una subcategoría completa de J .
Referencias
- Mac Lane, Saunders (1998). Categorías para el matemático que trabaja . Textos de Posgrado en Matemáticas 5 (2ª ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8.