En la teoría de la probabilidad, se dice que dos secuencias de medidas de probabilidad son contiguas si comparten asintóticamente el mismo soporte . Así, la noción de contigüidad extiende el concepto de continuidad absoluta a las secuencias de medidas.
El concepto fue introducido originalmente por Le Cam (1960) como parte de su contribución al desarrollo de la teoría asintótica general abstracta en estadística matemática . Le Cam fue fundamental durante el período en el desarrollo de la teoría asintótica general abstracta en estadística matemática. Es más conocido por los conceptos generales de normalidad y contigüidad asintótica local . [1]
Definición
Dejar ser una secuencia de espacios medibles , cada uno equipado con dos medidas P n y Q n .
- Decimos que Q n es contiguo con respecto a P n (denotado Q n ◁ P n ) si para cada secuencia A n de conjuntos medibles , P n ( A n ) → 0 implica Q n ( A n ) → 0 .
- Se dice que las secuencias P n y Q n son mutuamente contiguas o bi-contiguas (indicadas Q n ◁ ▷ P n ) si tanto Q n es contiguo con respecto a P n como P n es contiguo con respecto a Q n . [2]
La noción de contigüidad está estrechamente relacionada con la de continuidad absoluta . Decimos que una medida Q es absolutamente continua con respecto a P (denotado Q ≪ P ) si para cualquier conjunto medible A , P ( A ) = 0 implica Q ( A ) = 0 . Es decir, Q es absolutamente continuo con respecto a P si el soporte de Q es un subconjunto del soporte de P , excepto en los casos en que esto es falso, incluyendo, por ejemplo, una medida que se concentra en un conjunto abierto, porque su soporte es un conjunto cerrado y asigna la medida cero al límite, por lo que otra medida puede concentrarse en el límite y tener soporte contenido dentro del soporte de la primera medida, pero serán mutuamente singulares. En resumen, la declaración de continuidad absoluta de esta oración anterior es falsa. La propiedad de contigüidad reemplaza este requisito con uno asintótico: Q n es contiguo con respecto a P n si el "soporte limitante" de Q n es un subconjunto del soporte limitante de P n . Según la lógica antes mencionada, esta afirmación también es falsa.
Sin embargo, es posible que cada una de las medidas Q n sea absolutamente continua con respecto a P n , mientras que la secuencia Q n no sea contigua con respecto a P n .
El teorema fundamental de Radon-Nikodym para medidas absolutamente continuas establece que si Q es absolutamente continuo con respecto a P , entonces Q tiene densidad con respecto a P , denotada como ƒ = d Q ⁄ d P , tal que para cualquier conjunto medible A
lo cual se interpreta como poder "reconstruir" la medida Q a partir de conocer la medida P y la derivada ƒ . Existe un resultado similar para secuencias contiguas de medidas, y viene dado por el tercer lema de Le Cam .
Aplicaciones
Ver también
Notas
- ^ Wolfowitz J. (1974) Revisión del libro: "Contigüidad de medidas de probabilidad: algunas aplicaciones en estadística. Por George G. Roussas", Revista de la Asociación Estadounidense de Estadística , 69, 278-279 jstor
- ↑ van der Vaart (1998 , p. 87)
- ^ "Copia archivada" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 11 de octubre de 2008 . Consultado el 12 de noviembre de 2009 .Mantenimiento de CS1: copia archivada como título ( enlace )
Referencias
- Hájek, J .; Šidák, Z. (1967). Teoría de las pruebas de rango . Nueva York: Academic Press.
- Le Cam, Lucien (1960). "Familias de distribuciones localmente asintóticamente normales". Publicaciones de estadística de la Universidad de California . 3 : 37–98.
- Roussas, George G. (2001) [1994], "Contigüidad de medidas de probabilidad" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- van der Vaart, AW (1998). Estadística asintótica . Prensa de la Universidad de Cambridge.
Literatura adicional
- Roussas, George G. (1972), Contigüidad de medidas de probabilidad: algunas aplicaciones en estadística , CUP, ISBN 978-0-521-09095-7 .
- Scott, DJ (1982) Contigüidad de medidas de probabilidad, Revista de estadísticas de Australia y Nueva Zelanda , 24 (1), 80-88.
enlaces externos
- Asymptopia de contigüidad: 17 de octubre de 2000, David Pollard
- Normalidad asintótica bajo contigüidad en un caso de dependencia
- Un teorema del límite central bajo alternativas contiguas
- Teoremas de supereficiencia, contigüidad, LAN, regularidad, convolución
- Prueba de hipótesis estadísticas
- Condiciones necesarias y suficientes para la contigüidad y la separación asintótica completa de las medidas de probabilidad R Sh Liptser et al 1982 Russ. Matemáticas. Surv. 37 107-136
- El inconsciente como conjuntos infinitos Por Ignacio Matte Blanco, Eric (FRW) Rayner
- "Contigüidad de las medidas de probabilidad", David J. Scott, Universidad La Trobe
- "Sobre el concepto de contigüidad", Hall, Loynes