En la teoría de la probabilidad , el teorema del mapeo continuo establece que las funciones continuas conservan los límites incluso si sus argumentos son secuencias de variables aleatorias. Una función continua, en la definición de Heine , es una función que mapea secuencias convergentes en secuencias convergentes: si x n → x entonces g ( x n ) → g ( x ). El teorema de mapeo continuo establece que esto también será cierto si reemplazamos la secuencia determinista { x n } con una secuencia de variables aleatorias { X n}, y reemplace la noción estándar de convergencia de números reales “→” con uno de los tipos de convergencia de variables aleatorias .
Este teorema fue probado por primera vez por Henry Mann y Abraham Wald en 1943, [1] y, por lo tanto, a veces se lo denomina teorema de Mann-Wald . [2] Mientras tanto, Denis Sargan se refiere a él como el teorema de transformación general . [3]
Declaración
Sea { X n }, X sea elementos aleatorios definidos en un espacio métrico S . Suponga que una función g : S → S ′ (donde S ′ es otro espacio métrico) tiene el conjunto de puntos de discontinuidad D g tales que Pr [ X ∈ D g ] = 0 . Entonces [4] [5]
donde los superíndices, "d", "p" y "as" denotan convergencia en la distribución , convergencia en probabilidad y convergencia casi segura, respectivamente.
Prueba
Los espacios S y S ′ están equipados con determinadas métricas. Por simplicidad, denotaremos ambas métricas usando el | x - y | notación, aunque las métricas pueden ser arbitrarias y no necesariamente euclidianas.
Convergencia en la distribución
Necesitaremos un enunciado particular del teorema del acrónimo : que la convergencia en la distribución es equivalente a
- para cada funcional continuo acotado f .
Así que basta con demostrar que para cada funcional continuo acotado f . Tenga en cuenta quees en sí mismo un funcional continuo acotado. Y así, la afirmación se deriva de la declaración anterior.
Convergencia en probabilidad
Fije un ε > 0 arbitrario . Entonces, para cualquier δ > 0, considere el conjunto B δ definido como
Este es el conjunto de puntos de continuidad x de la función g (·) para el cual es posible encontrar, dentro del vecindario δ de x , un punto que mapea fuera del vecindario ε de g ( x ). Por definición de continuidad, este conjunto se reduce a medida que δ llega a cero, de modo que lim δ → 0 B δ = ∅.
Ahora suponga que | g ( X ) - g ( X n ) | > ε . Esto implica que al menos uno de los siguientes es verdadero: o | X - X n | ≥ δ , o X ∈ D g , o X ∈ B δ . En términos de probabilidades, esto se puede escribir como
En el lado derecho, el primer término converge a cero cuando n → ∞ para cualquier δ fijo , por la definición de convergencia en probabilidad de la secuencia { X n }. El segundo término converge a cero cuando δ → 0, ya que el conjunto B δ se reduce a un conjunto vacío. Y el último término es idénticamente igual a cero asumiendo el teorema. Por tanto, la conclusión es que
lo que significa que g ( X n ) converge ag ( X ) en probabilidad.
Convergencia casi segura
Por definición de la continuidad de la función g (·),
en cada punto X ( ω ) donde g (·) es continuo. Por lo tanto,
porque la intersección de dos eventos casi seguros es casi segura.
Por definición, concluimos que g ( X n ) converge ag ( X ) casi con seguridad.
Ver también
Referencias
- ^ Mann, HB; Wald, A. (1943). "Sobre el límite estocástico y las relaciones de orden" . Anales de estadística matemática . 14 (3): 217–226. doi : 10.1214 / aoms / 1177731415 . JSTOR 2235800 .CS1 maint: ref duplica el valor predeterminado ( enlace )
- ^ Amemiya, Takeshi (1985). Econometría avanzada . Cambridge, MA: Harvard University Press. pag. 88. ISBN 0-674-00560-0.
- ^ Sargan, Denis (1988). Conferencias sobre teoría econométrica avanzada . Oxford: Basil Blackwell. págs. 4–8. ISBN 0-631-14956-2.
- ^ Billingsley, Patrick (1969). Convergencia de medidas de probabilidad . John Wiley e hijos. pag. 31 (Corolario 1). ISBN 0-471-07242-7.
- ^ Van der Vaart, AW (1998). Estadística asintótica . Nueva York: Cambridge University Press. pag. 7 (Teorema 2.3). ISBN 0-521-49603-9.