En la teoría de la probabilidad , el elemento aleatorio es una generalización del concepto de variable aleatoria a espacios más complicados que la línea real simple. El concepto fue introducido por Maurice Fréchet ( 1948 ) quien comentó que “el desarrollo de la teoría de la probabilidad y la expansión del área de sus aplicaciones han llevado a la necesidad de pasar de esquemas donde los resultados (aleatorios) de los experimentos pueden describirse por número o por un conjunto finito de números, a esquemas donde los resultados de los experimentos representan, por ejemplo, vectores , funciones , procesos, campos , series , transformaciones y tambiénconjuntos o colecciones de conjuntos ". [1]
El uso moderno de "elemento aleatorio" frecuentemente asume que el espacio de valores es un espacio vectorial topológico , a menudo un espacio de Banach o Hilbert con un álgebra sigma natural especificada de subconjuntos. [2]
Definición
Dejar ser un espacio de probabilidad , yun espacio medible . Un elemento aleatorio con valores en E es una función X : Ω → E que es- medible . Es decir, una función X tal que para cualquier, la preimagen de B radica en.
A veces, elementos aleatorios con valores en son llamados -variables aleatorias valoradas.
Tenga en cuenta si , dónde son los números reales, y es su σ-álgebra de Borel , entonces la definición de elemento aleatorio es la definición clásica de variable aleatoria .
La definición de un elemento aleatorio con valores en un espacio de Banach se entiende típicamente que utiliza el más pequeño -álgebra en B para la cual cada funcional lineal acotado es medible. Una definición equivalente, en este caso, a la anterior, es que un mapa, de un espacio de probabilidad, es un elemento aleatorio si es una variable aleatoria para cada funcional lineal acotado f , o, de manera equivalente, quees débilmente mensurable .
Ejemplos de elementos aleatorios
Variable aleatoria
Una variable aleatoria es el tipo más simple de elemento aleatorio. Es un mapaes una función medible del conjunto de posibles resultados a .
Como función de valor real, a menudo describe alguna cantidad numérica de un evento dado. Por ejemplo, el número de caras después de un cierto número de lanzamientos de moneda; las alturas de diferentes personas.
Cuando la imagen (o rango) dees finita o numerablemente infinita , la variable aleatoria se llama variable aleatoria discreta [3] y su distribución puede describirse mediante una función de masa de probabilidad que asigna una probabilidad a cada valor en la imagen de. Si la imagen es incontablemente infinita, entoncesse llama variable aleatoria continua. En el caso especial de que sea absolutamente continuo , su distribución puede describirse mediante una función de densidad de probabilidad , que asigna probabilidades a los intervalos; en particular, cada punto individual debe tener necesariamente una probabilidad cero para una variable aleatoria absolutamente continua. No todas las variables aleatorias continuas son absolutamente continuas, [4] por ejemplo, una distribución de mezcla . Tales variables aleatorias no pueden describirse mediante una densidad de probabilidad o una función de masa de probabilidad.
Vector aleatorio
Un vector aleatorio es un vector de columna (o su transposición , que es un vector fila ) cuyos componentes son escalares -valued variables aleatorias en el mismo espacio de probabilidad , dónde es el espacio muestral ,es el sigma-álgebra (la colección de todos los eventos), yes la medida de probabilidad (una función que devuelve la probabilidad de cada evento ).
Los vectores aleatorios se utilizan a menudo como la implementación subyacente de varios tipos de variables aleatorias agregadas , por ejemplo, una matriz aleatoria , un árbol aleatorio , una secuencia aleatoria , un proceso aleatorio , etc.
Matriz aleatoria
Una matriz aleatoria es un elemento aleatorio de valor matricial . Muchas propiedades importantes de los sistemas físicos se pueden representar matemáticamente como problemas matriciales. Por ejemplo, la conductividad térmica de una red se puede calcular a partir de la matriz dinámica de las interacciones partícula-partícula dentro de la red.
Función aleatoria
Una función aleatoria es un tipo de elemento aleatorio en el que se selecciona un único resultado de alguna familia de funciones, donde la familia consiste en alguna clase de todos los mapas del dominio al codominio . Por ejemplo, la clase puede estar restringida a todas las funciones continuas o a todas las funciones escalonadas . Los valores determinados por una función aleatoria evaluada en diferentes puntos de la misma realización generalmente no serían estadísticamente independientes pero, dependiendo del modelo, los valores determinados en el mismo o en diferentes puntos de diferentes realizaciones bien podrían ser tratados como independientes.
Proceso aleatorio
Un proceso aleatorio es una colección de variables aleatorias , que representa la evolución de algún sistema de valores aleatorios a lo largo del tiempo. Esta es la contraparte probabilística de un proceso determinista (o sistema determinista ). En lugar de describir un proceso que solo puede evolucionar de una manera (como en el caso, por ejemplo, de las soluciones de una ecuación diferencial ordinaria ), en un proceso estocástico o aleatorio hay cierta indeterminación: incluso si la condición inicial (o punto de partida ) se conoce, hay varias (a menudo infinitas) direcciones en las que el proceso puede evolucionar.
En el caso simple del tiempo discreto , en contraposición al tiempo continuo , un proceso estocástico involucra una secuencia de variables aleatorias y la serie de tiempo asociada con estas variables aleatorias (por ejemplo, vea la cadena de Markov , también conocida como cadena de Markov de tiempo discreto).
Campo aleatorio
Dado un espacio de probabilidad y un espacio medible X, un X -valued campo aleatorio es una colección de X -valued variables aleatorias indexadas por elementos en un espacio topológico T . Es decir, un campo aleatorio F es una colección
donde cada es una variable aleatoria con valor X.
Existen varios tipos de campos aleatorios, entre ellos el campo aleatorio de Markov (MRF), el campo aleatorio de Gibbs (GRF), el campo aleatorio condicional (CRF) y el campo aleatorio gaussiano . Un MRF exhibe la propiedad de Markov
dónde es un conjunto de vecinos de la variable aleatoria X i . En otras palabras, la probabilidad de que una variable aleatoria asuma un valor depende de las otras variables aleatorias solo a través de las que son sus vecinas inmediatas. La probabilidad de una variable aleatoria en un MRF viene dada por
donde Ω 'es la misma realización de Ω, excepto para la variable aleatoria X i . Es difícil de calcular con esta ecuación, sin recurrir a la relación entre MRF y GRF propuesta por Julian Besag en 1974.
Medida aleatoria
Una medida aleatoria es un elemento aleatorio valorado como medida . [5] [6] Sea X un espacio métrico separable completo yel σ-álgebra de sus conjuntos de Borel. Una medida de Borel μ en X es finita delimitada si μ (A) <∞ para cada conjunto A de Borel acotado. ser el espacio de todas las medidas limitadamente finitas en . Sea (Ω, ℱ, P ) un espacio de probabilidad , luego una medida aleatoria mapea desde este espacio de probabilidad al espacio medible (, ) . [7] Por lo general, una medida puede descomponerse como:
Aquí es una medida difusa sin átomos, mientras que es una medida puramente atómica.
Conjunto aleatorio
Un conjunto aleatorio es un elemento aleatorio valorado en conjunto.
Un ejemplo específico es un conjunto compacto aleatorio . Dejarser un espacio métrico separable completo . Dejar denotar el conjunto de todos los subconjuntos compactos de . La métrica de Hausdorff en es definido por
es también un espacio métrico separable completo. Los subconjuntos abiertos correspondientes generan un σ-álgebra en, el álgebra sigma de Borel de .
Un conjunto compacto aleatorio es una función medible desde un espacio de probabilidad dentro .
Dicho de otra manera, un conjunto compacto aleatorio es una función medible tal que es casi seguro compacto y
es una función medible para cada .
Objetos geométricos aleatorios
Estos incluyen puntos aleatorios, figuras aleatorias [8] y formas aleatorias. [8]
Referencias
- ^ Fréchet, M. (1948). "Les éléments aléatoires de nature quelconque dans un espace distancié" . Annales de l'Institut Henri Poincaré . 10 (4): 215–310.
- ^ VV Buldygin, AB Kharazishvili. Aspectos geométricos de la teoría de la probabilidad y la estadística matemática. - Editores académicos Kluwer, Dordrecht. - 2000
- ^ Yates, Daniel S .; Moore, David S; Starnes, Daren S. (2003). La práctica de la estadística (2ª ed.). Nueva York: Freeman . ISBN 978-0-7167-4773-4. Archivado desde el original el 9 de febrero de 2005.
- ^ L. Castañeda; V. Arunachalam y S. Dharmaraja (2012). Introducción a la probabilidad y los procesos estocásticos con aplicaciones . Wiley. pag. 67.
- ^ Kallenberg, O. , Medidas aleatorias , cuarta edición. Academic Press, Nueva York, Londres; Akademie-Verlag, Berlín (1986). ISBN 0-12-394960-2 MR854102 . Una referencia autorizada pero bastante difícil.
- ^ Jan Grandell, Procesos puntuales y medidas aleatorias, Avances en probabilidad aplicada 9 (1977) 502-526. SEÑOR0478331 JSTOR Una introducción clara y agradable.
- ^ Daley, DJ; Vere-Jones, D. (2003). "Introducción a la teoría de los procesos puntuales". Probabilidad y sus aplicaciones. doi : 10.1007 / b97277 . ISBN 0-387-95541-0. Cite journal requiere
|journal=
( ayuda ) - ^ a b Stoyan, D. y Stoyan, H. (1994) Fractales, formas aleatorias y campos de puntos. Métodos de estadística geométrica . Chichester, Nueva York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-93757-6
Literatura
- Hoffman-Jorgensen J., Pisier G. (1976) "Ann.Probab.", V.4, 587–589.
- Mourier E. (1955) Elements aleatoires dans un espace de Banach (Estos). París.
- Prokhorov Yu.V. (1999) Elemento aleatorio. Probabilidad y estadística matemática. Enciclopedia. Moscú: "Gran enciclopedia rusa", P.623.
enlaces externos
- Entrada en la Enciclopedia Springer de Matemáticas