En la teoría analítica de fracciones continuas , el problema de convergencia es la determinación de condiciones en los numeradores parciales a i y denominadores parciales b i que son suficientes para garantizar la convergencia de la fracción continua
Este problema de convergencia para fracciones continuas es inherentemente más difícil que el correspondiente problema de convergencia para series infinitas .
Resultados elementales
Cuando los elementos de una fracción continua infinita consisten enteramente en números reales positivos , la fórmula determinante se puede aplicar fácilmente para demostrar cuándo converge la fracción continua. Dado que los denominadores B n no pueden ser cero en este caso simple, el problema se reduce a mostrar que el producto de los denominadores sucesivos B n B n +1 crece más rápidamente que el producto de los numeradores parciales a 1 a 2 a 3 ... a n +1 . El problema de la convergencia es mucho más difícil cuando los elementos de la fracción continua son números complejos .
Fracciones continuas periódicas
Una fracción continua periódica infinita es una fracción continua de la forma
donde k ≥ 1, la secuencia de numeradores parciales { a 1 , a 2 , a 3 , ..., a k } no contiene valores iguales a cero, y los numeradores parciales { a 1 , a 2 , a 3 , .. ., a k } y denominadores parciales { b 1 , b 2 , b 3 , ..., b k } se repiten una y otra vez, ad infinitum .
Aplicando la teoría de las transformaciones fraccionarias lineales a
donde A k -1 , B k -1 , A k y B k son los numeradores y denominadores de los k -1 y k- ésimo convergentes de la fracción continua periódica infinita x , se puede demostrar que x converge a una de las puntos fijos de s ( w ) si converge en absoluto. Específicamente, sean r 1 y r 2 las raíces de la ecuación cuadrática
Estas raíces son los puntos fijos de s ( w ). Si r 1 y r 2 son finitos, entonces la fracción continua periódica infinita x converge si y solo si
- las dos raíces son iguales; o
- el k -1er convergente está más cerca de r 1 que de r 2 , y ninguno de los primeros k convergentes es igual a r 2 .
Si el denominador B k -1 es igual a cero, entonces un número infinito de denominadores B nk -1 también desaparece, y la fracción continua no converge a un valor finito. Y cuando las dos raíces r 1 y r 2 son equidistantes del k -1er convergente - o cuando r 1 está más cerca del k -1er convergente que r 2 , pero uno de los primeros k convergentes es igual a r 2 - la fracción continua x diverge por oscilación. [1] [2] [3]
El caso especial cuando el período k = 1
Si el período de una fracción continua es 1; eso es, si
donde b ≠ 0, podemos obtener un resultado muy fuerte. Primero, al aplicar una transformación de equivalencia vemos que x converge si y solo si
converge. Luego, aplicando el resultado más general obtenido anteriormente se puede demostrar que
converge para cada número complejo z excepto cuando z es un número real negativo yz <−¼. Además, esta fracción continua y converge al valor particular de
que tiene el valor absoluto mayor (excepto cuando z es real y z <−¼, en cuyo caso los dos puntos fijos de la LFT que generan y tienen módulos iguales y y diverge por oscilación).
Aplicando otra transformación de equivalencia la condición que garantiza la convergencia de
también se puede determinar. Dado que una simple transformación de equivalencia muestra que
siempre que z ≠ 0, el resultado anterior para la fracción continua y se puede reformular para x . La fracción continua periódica infinita
converge si y solo si z 2 no es un número real que se encuentra en el intervalo −4 < z 2 ≤ 0 - o, de manera equivalente, x converge si y solo si z ≠ 0 yz no es un número imaginario puro con una parte imaginaria entre - 2 y 2. (sin incluir ninguno de los criterios de valoración)
Teorema de Worpitzky
Aplicando las desigualdades fundamentales a la fracción continua
se puede demostrar que las siguientes declaraciones son válidas si | a i | ≤ ¼ para los numeradores parciales a i , i = 2, 3, 4, ...
- La fracción continua x converge a un valor finito y converge uniformemente si los numeradores parciales a i son variables complejas. [4]
- El valor de xy de cada uno de sus convergentes x i se encuentra en el dominio circular de radio 2/3 centrado en el punto z = 4/3; es decir, en la región definida por
- El radio ¼ es el radio más grande sobre el cual se puede demostrar que x converge sin excepción, y la región Ω es el espacio de imagen más pequeño que contiene todos los valores posibles de la fracción continua x . [5]
La prueba de la primera declaración, de Julius Worpitzky en 1865, es aparentemente la prueba publicada más antigua de que una fracción continua con elementos complejos en realidad converge. [ disputado (porque: la fórmula de la fracción continua de Euler es más antigua) ] [6]
Debido a que la demostración del teorema de Worpitzky emplea la fórmula de la fracción continua de Euler para construir una serie infinita que es equivalente a la fracción continua x , y la serie así construida es absolutamente convergente, la prueba M de Weierstrass se puede aplicar a una versión modificada de x . Si
y existe un número real positivo M tal que | c i | ≤ M ( i = 2, 3, 4, ...), entonces la secuencia de convergentes { f i ( z )} converge uniformemente cuando
y f ( z ) es analítica en ese disco abierto.
Criterio de Śleszyński – Pringsheim
A finales del siglo XIX, Śleszyński y más tarde Pringsheim demostraron que una fracción continua, en la que a s y b s pueden ser números complejos, convergerá a un valor finito si por [7]
Teorema de Van Vleck
Jones y Thron atribuyen el siguiente resultado a Van Vleck . Supongamos que todos los a i son iguales a 1, y todos los b i tienen argumentos con:
siendo épsilon cualquier número positivo menor que . En otras palabras, todos los b i están dentro de una cuña que tiene su vértice en el origen, tiene un ángulo de apertura de, y es simétrico alrededor del eje real positivo. Entonces f i , el i-ésimo convergente a la fracción continua, es finito y tiene un argumento:
Además, la secuencia de convergentes pares convergerá, al igual que la secuencia de convergentes impares. La fracción continua en sí convergerá si y solo si la suma de todos los | b i | diverge. [8]
Notas
- ^ 1886 Otto Stolz , Verlesungen über allgemeine Arithmetik , págs. 299-304
- ^ 1900 Alfred Pringsheim , Sb. München , vol. 30, "Über die Konvergenz unendlicher Kettenbrüche"
- ^ 1905 Oskar Perron , Sb. München , vol. 35, "Über die Konvergenz periodischer Kettenbrüche"
- ^ 1865 Julius Worpitzky, Jahresbericht Friedrichs-Gymnasium und Realschule , "Untersuchungen über die Entwickelung der monodromen und monogenen Functionen durch Kettenbrüche"
- ^ a b 1942 JF Paydon y HS Wall, Duke Math. Journal , vol. 9, "La fracción continua como una secuencia de transformaciones lineales"
- ^ 1905 Edward Burr Van Vleck , The Boston Colloquium , "Temas seleccionados en la teoría de series divergentes y de fracciones continuas"
- ^ Véase, por ejemplo, el teorema 4.35 de la página 92 de Jones y Thron (1980).
- ^ Véase el teorema 4.29, en la página 88, de Jones y Thron (1980).
Referencias
- Jones, William B .; Thron, WJ (1980), Fracciones continuas: teoría analítica y aplicaciones. Enciclopedia de Matemáticas y sus Aplicaciones. , 11 , lectura. Massachusetts: Compañía editorial de Addison-Wesley, ISBN 0-201-13510-8
- Oskar Perron , Die Lehre von den Kettenbrüchen , Chelsea Publishing Company, Nueva York, NY 1950.
- HS Wall, Teoría analítica de fracciones continuas , D. Van Nostrand Company, Inc., 1948 ISBN 0-8284-0207-8