En la teoría analítica de las fracciones continuas , la fórmula de la fracción continua de Euler es una identidad que conecta una cierta serie infinita muy general con una fracción continua infinita . Publicado por primera vez en 1748, al principio se consideró como una identidad simple que conectaba una suma finita con una fracción continua finita de tal manera que la extensión al caso infinito era evidente de inmediato. [1] Hoy en día se aprecia más plenamente como una herramienta útil en los ataques analíticos al problema de convergencia general para fracciones continuas infinitas con elementos complejos.
Euler derivó la fórmula conectando una suma finita de productos con una fracción continua finita .
La identidad se establece fácilmente por inducción en n y, por lo tanto, es aplicable en el límite: si la expresión de la izquierda se extiende para representar una serie infinita convergente , la expresión de la derecha también se puede extender para representar una fracción continua infinita convergente .
Esto se escribe de manera más compacta usando notación de fracción continua generalizada :
Si r i son números complejos y x se define por
entonces esta igualdad puede ser probada por inducción
- .
Aquí la igualdad debe entenderse como equivalencia, en el sentido de que la n-ésima convergencia de cada fracción continua es igual a la n-ésima suma parcial de la serie que se muestra arriba. Entonces, si la serie que se muestra es convergente, o uniformemente convergente, cuando r i son funciones de alguna variable compleja z , entonces las fracciones continuas también convergen, o convergen uniformemente. [2]
Teorema: Sea ser un número natural. Para valores complejos ,
y para valores complejos ,
Prueba: Realizamos una doble inducción. Para, tenemos
y
Ahora suponga que ambas afirmaciones son verdaderas para algunos .
Tenemos dónde
aplicando la hipótesis de inducción a .
Pero implica implica , contradicción. Por eso
completando esa inducción.
Tenga en cuenta que para ,
Si , entonces ambos lados son cero.
Utilizando y , y aplicando la hipótesis de inducción a los valores ,
completando la otra inducción.
Como ejemplo, la expresión se puede reorganizar en una fracción continua.
Esto se puede aplicar a una secuencia de cualquier longitud y, por lo tanto, también se aplicará en el caso infinito.
La función exponencial
La función exponencial e x es una función completa con una expansión en serie de potencias que converge uniformemente en cada dominio acotado en el plano complejo.
La aplicación de la fórmula de fracción continua de Euler es sencilla:
Aplicando una transformación de equivalencia que consiste en despejar las fracciones este ejemplo se simplifica a
y podemos estar seguros de que esta fracción continua converge uniformemente en cada dominio acotado en el plano complejo porque es equivalente a la serie de potencias para e x .
El logaritmo natural
La serie de Taylor para la rama principal del logaritmo natural en la vecindad de x = 1 es bien conocida:
Esta serie converge cuando | x | <1 y también se puede expresar como una suma de productos: [3]
La aplicación de la fórmula de fracción continua de Euler a esta expresión muestra que
y el uso de una transformación de equivalencia para borrar todas las fracciones da como resultado
Esta fracción continua converge cuando | x | <1 porque es equivalente a la serie de la que se derivó. [3]
Las funciones trigonométricas
La serie de Taylor de la función seno converge en todo el plano complejo y se puede expresar como la suma de productos.
Luego se puede aplicar la fórmula de fracción continua de Euler
Se utiliza una transformación de equivalencia para borrar los denominadores:
El mismo argumento se puede aplicar a la función coseno :
Las funciones trigonométricas inversas
Las funciones trigonométricas inversas se pueden representar como fracciones continuas.
Una transformación de equivalencia produce
La fracción continua de la tangente inversa es sencilla:
Una fracción continua de π
Podemos usar el ejemplo anterior que involucra la tangente inversa para construir una representación de fracción continua de π . Notamos eso
Y estableciendo x = 1 en el resultado anterior, obtenemos inmediatamente
Las funciones hiperbólicas
Recordando la relación entre las funciones hiperbólicas y las funciones trigonométricas,
Y eso las siguientes fracciones continuas se derivan fácilmente de las anteriores:
Las funciones hiperbólicas inversas
Las funciones hiperbólicas inversas están relacionadas con las funciones trigonométricas inversas de manera similar a cómo las funciones hiperbólicas están relacionadas con las funciones trigonométricas,
Y estas fracciones continuas se derivan fácilmente: