En matemáticas (particularmente en análisis complejo ), el argumento de un número complejo z , denotado arg ( z ), es el ángulo entre el eje real positivo y la línea que une el origen yz , representado como un punto en el plano complejo , mostrado comoen la figura 1. [1] Es un multivalor función operativo en los distinto de cero números complejos . Para definir una función de un solo valor, se usa el valor principal del argumento (a veces denotado Arg z ). A menudo se elige como el valor único del argumento que se encuentra dentro del intervalo (- π , π ] . [2] [3]
Definición
Un argumento del número complejo z = x + iy , denotado arg ( z ) , [1] se define de dos formas equivalentes:
- Geométricamente, en el plano complejo , como el ángulo polar 2D desde el eje real positivo hasta el vector que representa z . El valor numérico viene dado por el ángulo en radianes y es positivo si se mide en sentido antihorario.
- Algebraicamente, como cualquier cantidad real tal que para alguna r real positiva (véase la fórmula de Euler ). La cantidad r es el módulo (o valor absoluto) de z , denotado | z |: [1]
Los nombres magnitud , para el módulo, y fase , [4] [2] para el argumento, a veces se usan de manera equivalente.
Bajo ambas definiciones, se puede ver que el argumento de cualquier número complejo distinto de cero tiene muchos valores posibles: en primer lugar, como ángulo geométrico, está claro que las rotaciones del círculo completo no cambian el punto, por lo que los ángulos que difieren en un múltiplo entero de 2π radianes (un círculo completo) son iguales, como se refleja en la figura 2 a la derecha. De manera similar, a partir de la periodicidad de sin y cos , la segunda definición también tiene esta propiedad. El argumento de cero generalmente se deja sin definir.
Valor principal
Debido a que una rotación completa alrededor del origen deja un número complejo sin cambios, hay muchas opciones que se pueden hacer para rodeando el origen varias veces. Esto se muestra en la figura 2, una representación de la función de valores múltiples ( valor establecido), donde una línea vertical (no mostrada en la figura) corta la superficie en alturas que representan todas las posibles opciones de ángulo para ese punto.
Cuando se requiere una función bien definida , la opción habitual, conocida como valor principal , es el valor en el intervalo abierto-cerrado (- π rad, π rad] , es decir, de - π a π radianes , excluyendo - π rad en sí mismo (equiv., de −180 a +180 grados , excluyendo −180 ° en sí) Esto representa un ángulo de hasta medio círculo completo desde el eje real positivo en cualquier dirección.
Algunos autores definen el rango del valor principal como en el intervalo cerrado-abierto [0, 2 π ) .
Notación
El valor principal a veces tiene la letra inicial en mayúscula, como en Arg z , especialmente cuando también se está considerando una versión general del argumento. Tenga en cuenta que la notación varía, por lo que arg y Arg pueden intercambiarse en diferentes textos.
El conjunto de todos los valores posibles del argumento se puede escribir en términos de Arg como:
igualmente
Computación desde la parte real e imaginaria
Si un número complejo se conoce en términos de sus partes real e imaginaria, entonces la función que calcula el valor principal Arg se llama función arcotangente de dos argumentos atan2 :
- .
La función atan2 (también llamada arctan2 u otros sinónimos) está disponible en las bibliotecas matemáticas de muchos lenguajes de programación y, por lo general, devuelve un valor en el rango (−π, π] . [2]
Muchos textos dicen que el valor viene dado por arctan ( y / x ) , ya que y / x es pendiente, y arctan convierte pendiente en ángulo. Esto es correcto solo cuando x > 0 , por lo que el cociente está definido y el ángulo se encuentra entre - π / 2 y π / 2 , pero extender esta definición a los casos en los que x no es positivo es relativamente complicado. Específicamente, se puede definir el valor principal del argumento por separado en los dos semiplanos x > 0 y x <0 (separados en dos cuadrantes si se desea una rama cortada en el eje x negativo ), y > 0 , y < 0 y luego unir.
Una expresión compacta con 4 semiplanos superpuestos es
Para la variante donde se define que Arg se encuentra en el intervalo [0, 2π) , el valor se puede encontrar sumando 2π al valor anterior cuando es negativo.
Alternativamente, el valor principal se puede calcular de manera uniforme usando la fórmula de medio ángulo tangente , la función se define sobre el plano complejo pero excluyendo el origen:
Esto se basa en una parametrización del círculo (excepto por el eje x negativo ) por funciones racionales. Esta versión de Arg no es lo suficientemente estable para el uso computacional de coma flotante (ya que puede desbordarse cerca de la región x <0, y = 0 ), pero puede usarse en cálculos simbólicos .
A veces se utiliza una variante de la última fórmula que evita el desbordamiento en cálculos de alta precisión:
Identidades
Una de las principales motivaciones para definir el valor principal Arg es poder escribir números complejos en forma de módulo-argumento. Por tanto, para cualquier número complejo z ,
Esto solo es realmente válido si z no es cero, pero puede considerarse válido para z = 0 si Arg (0) se considera una forma indeterminada, en lugar de indefinida.
Siguen algunas identidades adicionales. Si z 1 y z 2 son dos números complejos distintos de cero, entonces
Si z ≠ 0 y n es un número entero, entonces [2]
Ejemplo
Usando el logaritmo complejo
De , se sigue fácilmente que . Esto es útil cuando uno tiene disponible el logaritmo complejo .
Referencias
- ^ a b c "Lista completa de símbolos de álgebra" . Bóveda de matemáticas . 2020-03-25 . Consultado el 31 de agosto de 2020 .
- ^ a b c d Weisstein, Eric W. "Argumento complejo" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 31 de agosto de 2020 .
- ^ "Matemáticas puras" . internal.ncl.ac.uk . Consultado el 31 de agosto de 2020 .
- ^ Diccionario de matemáticas (2002). fase .
Bibliografía
- Ahlfors, Lars (1979). Análisis complejo: una introducción a la teoría de las funciones analíticas de una variable compleja (3ª ed.). Nueva York; Londres: McGraw-Hill. ISBN 0-07-000657-1.
- Ponnuswamy, S. (2005). Fundamentos del análisis complejo (2ª ed.). Nueva Delhi; Bombay: Narosa. ISBN 978-81-7319-629-4.
- Beardon, Alan (1979). Análisis complejo: el principio de argumento en análisis y topología . Chichester: Wiley. ISBN 0-471-99671-8.
- Borowski, Ephraim; Borwein, Jonathan (2002) [1ª ed. 1989 como Diccionario de Matemáticas ]. Matemáticas . Diccionario Collins (2ª ed.). Glasgow: HarperCollins . ISBN 0-00-710295-X.
enlaces externos
- Argumento en Encyclopedia of Mathematics .