En matemáticas , los espacios métricos convexos son, intuitivamente, espacios métricos con la propiedad de que cualquier "segmento" que une dos puntos en ese espacio tiene otros puntos además de los extremos.
Formalmente, considere un espacio métrico ( X , d ) y dejar que x e y ser dos puntos en X . Un punto z en X se dice que es entre x y y si los tres puntos son distintos, y
es decir, la desigualdad del triángulo se convierte en una igualdad. Un espacio métrico convexa es un espacio métrico ( X , d ) de modo que, para cualquier par de puntos distintos x y Y en X , existe un tercer punto z en X que se extiende entre x y y .
Convexidad métrica:
- no implica convexidad en el sentido habitual para subconjuntos del espacio euclidiano (ver el ejemplo de los números racionales)
- ni implica conectividad de ruta (ver el ejemplo de los números racionales)
- tampoco implica convexidad geodésica para las variedades riemannianas (considérese, por ejemplo, el plano euclidiano sin un disco cerrado).
Ejemplos de
- Los espacios euclidianos, es decir, el espacio tridimensional habitual y sus análogos para otras dimensiones, son espacios métricos convexos. Dados dos puntos distintos y en tal espacio, el conjunto de todos los puntos Satisfacer la "igualdad triangular" anterior forma el segmento de línea entre y que siempre tiene otros puntos excepto y de hecho, tiene un continuo de puntos.
- Cualquier conjunto convexo en un espacio euclidiano es un espacio métrico convexo con la norma euclidiana inducida. Para conjuntos cerrados, lo contrario también es cierto: si un subconjunto cerrado de un espacio euclidiano junto con la distancia inducida es un espacio métrico convexo, entonces es un conjunto convexo (este es un caso particular de un enunciado más general que se discutirá a continuación) .
- Un círculo es un espacio métrico convexo, si la distancia entre dos puntos se define como la longitud del arco más corto en el círculo que los conecta.
Segmentos métricos
Dejar ser un espacio métrico (que no es necesariamente convexo). Un subconjunto de se llama segmento métrico entre dos puntos distintos y en si existe un intervalo cerrado en la línea real y una isometría
tal que y
Está claro que cualquier punto en tal segmento métrico excepto por los "puntos finales" y está entre y Como tal, si un espacio métrico admite segmentos métricos entre dos puntos distintos en el espacio, entonces es un espacio métrico convexo.
Lo contrario no es cierto, en general. Los números racionales forman un espacio métrico convexo con la distancia habitual, sin embargo, no existe un segmento que conecte dos números racionales que esté compuesto únicamente por números racionales. Si acaso,es un espacio métrico convexo y, además, está completo , se puede probar que para dos puntos cualesquiera en existe un segmento métrico que los conecta (que no es necesariamente único).
Espacios métricos convexos y conjuntos convexos
Como se mencionó en la sección de ejemplos, los subconjuntos cerrados de espacios euclidianos son espacios métricos convexos si y solo si son conjuntos convexos. Entonces es natural pensar en los espacios métricos convexos como una generalización de la noción de convexidad más allá de los espacios euclidianos, con segmentos lineales usuales reemplazados por segmentos métricos.
Sin embargo, es importante señalar que la convexidad métrica definida de esta manera no tiene una de las propiedades más importantes de los conjuntos convexos euclidianos, ya que la intersección de dos conjuntos convexos es convexa. De hecho, como se mencionó en la sección de ejemplos, un círculo, con la distancia entre dos puntos medida a lo largo del arco más corto que los conecta, es un espacio métrico convexo ( completo ). Sin embargo, si y son dos puntos en un círculo diametralmente opuestos entre sí, existen dos segmentos métricos que los conectan (los dos arcos en los que estos puntos dividen el círculo), y esos dos arcos son métricamente convexos, pero su intersección es el conjunto que no es métricamente convexo.
Ver también
Referencias
- Khamsi, Mohamed A .; Kirk, William A. (2001). Introducción a los espacios métricos y la teoría del punto fijo . Wiley-IEEE. ISBN 0-471-41825-0.
- Kaplansky, Irving (2001). Establecer espacios teóricos y métricos . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 0-8218-2694-8.