Las teorías del transporte de fotones, como el método de Monte Carlo , se utilizan comúnmente para modelar la propagación de la luz en los tejidos . Las respuestas a un rayo de lápiz que incide en un medio de dispersión se denominan funciones de Green o respuestas de impulso . Los métodos de transporte de fotones se pueden utilizar directamente para calcular las respuestas de haz amplio distribuyendo fotones sobre la sección transversal del haz. Sin embargo, la convolución se puede utilizar en ciertos casos para mejorar la eficiencia computacional.
Fórmulas de convolución general
Para que la convolución se utilice para calcular una respuesta de haz ancho, un sistema debe ser invariante en el tiempo , lineal y en traslación . La invariancia temporal implica que un haz de fotones retrasado en un tiempo determinado produce una respuesta desplazada por el mismo retraso. La linealidad indica que una respuesta dada aumentará en la misma cantidad si la entrada se escala y obedece a la propiedad de superposición . La invariancia de traslación significa que si un rayo se desplaza a una nueva ubicación en la superficie del tejido, su respuesta también se desplaza en la misma dirección en la misma distancia. Aquí, solo se considera la convolución espacial.
Las respuestas de los métodos de transporte de fotones pueden ser cantidades físicas como absorción , fluencia , reflectancia o transmitancia . Dada una cantidad física específica, G (x, y, z) , de un haz de lápiz en el espacio cartesiano y una fuente de luz colimada con perfil de haz S (x, y) , se puede calcular una respuesta de haz ancho usando el siguiente 2- Fórmula de convolución D:
Similar a la convolución 1-D, la convolución 2-D es conmutativa entre G y S con un cambio de variables y :
Porque la respuesta de haz ancho tiene simetría cilíndrica, sus integrales de convolución se pueden reescribir como:
dónde . Debido a que la integración interna de la Ecuación 4 es independiente de z , solo necesita calcularse una vez para todas las profundidades. Por tanto, esta forma de respuesta de haz ancho es más ventajosa desde el punto de vista computacional.
Perfiles de vigas comunes
Rayo gaussiano
Para un haz gaussiano , el perfil de intensidad viene dado por
Aquí, R denota elradio del haz, y S 0 denota la intensidad en el centro del haz. S 0 está relacionado con la potencia total P 0 por
Sustituyendo la ecuación. 5 en la ecuación. 4, obtenemos
donde I 0 es la función de Bessel modificada de orden cero .
Viga de sombrero de copa
Para un haz de sombrero de copa de radio R , la función de fuente se convierte en
donde S 0 denota la intensidad dentro del haz. S 0 está relacionado con la potencia total del haz P 0 por
Sustituyendo la ecuación. 8 en la ecuación. 4, obtenemos
dónde
Errores en la evaluación numérica
Primeras interacciones
Las primeras interacciones fotón-tejido siempre ocurren en el eje zy, por lo tanto, contribuyen a la absorción específica o cantidades físicas relacionadas como una función delta de Dirac . Se producirán errores si la absorción debida a las primeras interacciones no se registra por separado de la absorción debida a interacciones posteriores. La respuesta total al impulso se puede expresar en dos partes:
donde el primer término resulta de las primeras interacciones y el segundo, de interacciones subsecuentes. Para un rayo gaussiano, tenemos
Para una viga de sombrero de copa, tenemos
Error de truncamiento
Para un haz de sombrero de copa, los límites de integración superiores pueden ser limitadas por r max , de modo que r ≤ r max - R . Por lo tanto, la cobertura de cuadrícula limitada en la dirección r no afecta la convolución. Para convolucionar de manera confiable para cantidades físicas en r en respuesta a un haz de sombrero de copa, debemos asegurarnos de que r max en los métodos de transporte de fotones sea lo suficientemente grande como para que r ≤ r max - R se mantenga. Para un haz de Gauss, no existen límites de integración superiores simples porque teóricamente se extiende hasta el infinito. En r >> R , un haz gaussiano y un haz de sombrero de copa del mismo R y S 0 tienen resultados de convolución comparables. Por lo tanto, r ≤ r max - R se puede usar aproximadamente también para haces gaussianos.
Implementación de convolución
Hay dos métodos comunes que se utilizan para implementar la convolución discreta: la definición de convolución y la transformación rápida de Fourier (FFT e IFFT) de acuerdo con el teorema de convolución . Para calcular la respuesta óptica de haz ancho, la respuesta al impulso de un haz de lápiz se convoluciona con la función del haz. Como se muestra en la Ecuación 4, esta es una convolución bidimensional. Para el cálculo de la respuesta de un haz de luz sobre un plano perpendicular al eje z, la función de haz (representado por una b b × matriz) se convoluciona con la respuesta al impulso en ese plano (representado por un un × una matriz). Normalmente a es mayor que b . La eficiencia de cálculo de estos dos métodos depende en gran medida de b , el tamaño del haz de luz.
En convolución directa, la matriz solución es del tamaño ( a + b - 1) × ( a + b - 1). El cálculo de cada uno de estos elementos (excepto esos límites cerca) incluye B × b multiplicaciones y b × b - 1 adiciones, así que la complejidad de tiempo es O [( un + b ) 2 b 2 ]. Usando el método FFT, los pasos principales son FFT e IFFT de ( a + b - 1) × ( a + b - 1) matrices, por lo que la complejidad del tiempo es O [( a + b ) 2 log ( a + b ) ]. Comparando O [( a + b ) 2 b 2 ] y O [( a + b ) 2 log ( a + b )], es evidente que la convolución directa será más rápida si b es mucho más pequeño que a , pero el método FFT será más rápido si b es relativamente grande.
Ejemplos computacionales
El destino de los fotones se puede modelar utilizando una implementación de Matlab del método de Monte Carlo ( n rel = 1, μ a = 0.1, μ s = 100, g = 0.9, 100,000 fotones). Con este modelo de Matlab, se registra la fluencia de una región de 3 × 3 × 3 cm 3 y se traza la distribución de la fluencia de una respuesta de haz ancho. La Figura 1 y la Figura 2 muestran las respuestas a una viga lápiz y una viga ancha de sombrero de copa de 1 cm, respectivamente. La convolución directa se usó para calcular la respuesta de haz ancho en la Figura 2. La Figura 3 muestra la respuesta de haz ancho calculada usando el método FFT. Cuando el diámetro del haz de luz es de 0,2 cm, la convolución directa cuesta 1,93 segundos y el método FFT cuesta 7,35 segundos. Cuando el diámetro del haz de luz es de 2 cm, la convolución directa cuesta 90,1 segundos y el método FFT cuesta 16,8 segundos. Por supuesto, el tiempo de cálculo absoluto depende de la velocidad de procesamiento de la computadora que se utiliza. Estas dos comparaciones se realizaron en la misma computadora. Aunque los tiempos de cálculo difieren, los gráficos de las Figuras 2 y 3 son indistinguibles.
Ver también
Enlaces a otros recursos de Monte Carlo
Referencias
- L.-H. Wang y H.-I. Wu. Óptica biomédica: principios e imágenes. Wiley 2007.
- L.-H. Wang, SL Jacques y L.-Q. Zheng, "Modelado Monte Carlo del transporte de fotones en tejidos multicapa", Métodos y programas informáticos en biomedicina 47, 131-146 (1995).
- L.-H. Wang, SL Jacques y L.-Q. Zheng, "Convolución para respuestas a un haz de fotones de diámetro finito que incide en tejidos de varias capas", Métodos y programas informáticos en biomedicina 54, 141-150 (1997). Descargar artículo .