El transporte de fotones en tejido biológico se puede modelar de forma equivalente numéricamente con simulaciones de Monte Carlo o analíticamente mediante la ecuación de transferencia radiativa (RTE). Sin embargo, el RTE es difícil de resolver sin introducir aproximaciones. Una aproximación común resumida aquí es la aproximación de difusión. En general, las soluciones a la ecuación de difusión para el transporte de fotones son más eficientes computacionalmente, pero menos precisas que las simulaciones de Monte Carlo. [1]
Definiciones
El RTE puede modelar matemáticamente la transferencia de energía a medida que los fotones se mueven dentro de un tejido. El flujo de energía de radiación a través de un elemento de área pequeña en el campo de radiación se puede caracterizar por la radiancia. . El resplandor se define como el flujo de energía por unidad de área normal por unidad de ángulo sólido por unidad de tiempo. Aquí, denota posición, denota vector de dirección unitaria y denota tiempo (Figura 1).
Varias otras magnitudes físicas importantes se basan en la definición de radiancia: [1]
- Tasa o intensidad de fluencia
- Fluencia
- Densidad de corriente ( flujo de energía ). Esta es la contraparte vectorial de la tasa de fluencia que apunta en la dirección predominante del flujo de energía.
Ecuación de transferencia radiativa
El RTE es una ecuación diferencial que describe la radiancia. . Puede obtenerse mediante la conservación de la energía . Brevemente, el RTE establece que un haz de luz pierde energía a través de la divergencia y la extinción (incluida la absorción y la dispersión del haz) y gana energía de las fuentes de luz en el medio y la dispersión dirigida hacia el haz. Se descuidan la coherencia , la polarización y la no linealidad. Propiedades ópticas como el índice de refracción. , coeficiente de absorción μ a , coeficiente de dispersión μ s , y anisotropía de dispersiónse toman como invariantes en el tiempo pero pueden variar espacialmente. Se supone que la dispersión es elástica. El RTE ( ecuación de Boltzmann ) se escribe así: [1]
dónde
- es la velocidad de la luz en el tejido, determinada por el índice de refracción relativo
- μ tμ a + μ s es el coeficiente de extinción
- es la función de fase, que representa la probabilidad de luz con dirección de propagación estar disperso en un ángulo sólido alrededor . En la mayoría de los casos, la función de fase depende solo del ángulo entre los e incidente direcciones, es decir . La anisotropía de dispersión se puede expresar como
- describe la fuente de luz.
Teoría de la difusión
Supuestos
En el RTE, seis variables independientes diferentes definen el resplandor en cualquier punto espacial y temporal (, , y de , ángulo polar y ángulo azimutal de , y ). Al hacer suposiciones adecuadas sobre el comportamiento de los fotones en un medio de dispersión, se puede reducir el número de variables independientes. Estos supuestos conducen a la teoría de la difusión (y la ecuación de difusión) para el transporte de fotones. Dos supuestos permiten la aplicación de la teoría de la difusión al RTE:
- En relación con los eventos de dispersión, hay muy pocos eventos de absorción. Asimismo, después de numerosos eventos de dispersión, se producirán pocos eventos de absorción y el resplandor se volverá casi isotrópico. Esta suposición a veces se denomina ampliación direccional.
- En un medio principalmente de dispersión, el tiempo para un cambio sustancial de densidad de corriente es mucho más largo que el tiempo para atravesar una ruta libre de medio de transporte. Por lo tanto, en un trayecto libre medio de transporte, el cambio fraccionario en la densidad de corriente es mucho menor que la unidad. Esta propiedad a veces se denomina ensanchamiento temporal.
Ambos supuestos requieren un medio de alto albedo (predominantemente de dispersión). [1]
El RTE en la aproximación de difusión
Radiance se puede expandir sobre un conjunto básico de armónicos esféricos n, m . En la teoría de la difusión, se considera que el resplandor es en gran medida isotrópico, por lo que solo se utilizan los términos isotrópico y anisotrópico de primer orden: dónde n, m son los coeficientes de expansión. El resplandor se expresa con 4 términos; uno para n = 0 (el término isotrópico) y 3 términos para n = 1 (los términos anisotrópicos). Usando propiedades de armónicos esféricos y las definiciones de tasa de fluencia y densidad de corriente , los términos isotrópico y anisotrópico se pueden expresar respectivamente de la siguiente manera:
Por tanto, podemos aproximar la radiancia como [1]
Sustituyendo la expresión anterior por radiancia, el RTE se puede reescribir respectivamente en forma escalar y vectorial de la siguiente manera (El término de dispersión del RTE se integra sobre el conjunto completo ángulo sólido. Para la forma vectorial, el RTE se multiplica por la direcciónantes de la evaluación): [1]
La aproximación de difusión se limita a sistemas donde los coeficientes de dispersión reducidos son mucho mayores que sus coeficientes de absorción y tienen un espesor de capa mínimo del orden de unos pocos medios de transporte de trayectoria libre .
La ecuación de difusión
Usando el segundo supuesto de la teoría de la difusión, observamos que el cambio fraccional en la densidad de corriente sobre un medio de transporte, el camino libre es insignificante. La representación vectorial de la teoría de la difusión RTE se reduce a la ley de Fick , que define la densidad de corriente en términos del gradiente de velocidad de fluencia. Sustituyendo la ley de Fick en la representación escalar del RTE se obtiene la ecuación de difusión: [1]
es el coeficiente de difusión y μ ' sμ s es el coeficiente de dispersión reducido.
En particular, no existe una dependencia explícita del coeficiente de dispersión en la ecuación de difusión. En cambio, solo el coeficiente de dispersión reducido aparece en la expresión para. Esto conduce a una relación importante; la difusión no se ve afectada si se cambia la anisotropía del medio de dispersión mientras que el coeficiente de dispersión reducido permanece constante. [1]
Soluciones a la ecuación de difusión
Para varias configuraciones de límites (por ejemplo, capas de tejido) y fuentes de luz, la ecuación de difusión se puede resolver aplicando condiciones de contorno apropiadas y definiendo el término fuente. según lo requiera la situación.
Fuentes puntuales en infinitos medios homogéneos
En esta sección se presenta una solución a la ecuación de difusión para el caso simple de una fuente puntual de pulsos cortos en un medio homogéneo infinito. El término fuente en la ecuación de difusión se convierte en, dónde es la posición en la que se mide la tasa de fluencia y es la posición de la fuente. El pulso alcanza su punto máximo en el momento. La ecuación de difusión se resuelve para que la tasa de fluencia produzca
El termino representa la caída exponencial en la tasa de fluencia debido a la absorción de acuerdo con la ley de Beer . Los otros términos representan un ensanchamiento debido a la dispersión. Dada la solución anterior, una fuente arbitraria se puede caracterizar como una superposición de fuentes puntuales de impulsos cortos. Sacar la variación de tiempo de la ecuación de difusión da lo siguiente para una fuente puntual independiente del tiempo:
es el coeficiente de atenuación efectivo e indica la tasa de decaimiento espacial en la fluencia. [1]
Condiciones de borde
Tasa de fluencia en un límite
La consideración de las condiciones de contorno permite el uso de la ecuación de difusión para caracterizar la propagación de la luz en medios de tamaño limitado (donde se deben considerar las interfaces entre el medio y el medio ambiente). Para comenzar a abordar un límite, uno puede considerar qué sucede cuando los fotones en el medio alcanzan un límite (es decir, una superficie). La radiancia integrada en la dirección en el límite y dirigida hacia el medio es igual a la radiancia integrada en la dirección en el límite y dirigida fuera del medio multiplicada por la reflectancia :
dónde es normal y apunta en dirección opuesta al límite. La aproximación de difusión da una expresión de resplandor. en términos de tasa de fluencia y densidad de corriente . La evaluación de las integrales anteriores después de la sustitución da: [3]
Sustituyendo la ley de Fick () da, a una distancia del límite z = 0, [3]
El límite extrapolado
Es deseable identificar un límite de fluencia cero. Sin embargo, la tasa de fluenciaen un límite físico, en general, no es cero. Un límite extrapolado, enb para el que la tasa de fluencia es cero, se puede determinar para establecer fuentes de imagen. Usando una aproximación de serie de Taylor de primer orden ,
que se evalúa a cero ya que . Así, por definición,b debe serz como se define arriba. En particular, cuando el índice de refracción es el mismo en ambos lados del límite,F es cero y el límite extrapolado está enB. [3]
Rayo de lápiz que normalmente incide en un medio semi-infinito
Usando condiciones de contorno, se puede caracterizar aproximadamente la reflectancia difusa para un rayo de lápiz que normalmente incide en un medio semi-infinito. El haz se representará como dos fuentes puntuales en un medio infinito de la siguiente manera (Figura 2): [1] [4]
- Establecer anisotropía de dispersión 2para el medio de dispersión y establezca el nuevo coeficiente de dispersión μ s2 al μ s1 original multiplicado por1, dónde 1 es la anisotropía de dispersión original.
- Convierta el haz de lápiz en una fuente puntual isotrópica a una profundidad de un camino libre medio de transporte 'debajo de la superficie y el poder = '.
- Implemente la condición de límite extrapolada agregando una fuente de imagen de signo opuesto sobre la superficie en 'b .
Las dos fuentes puntuales se pueden caracterizar como fuentes puntuales en un medio infinito a través de
es la distancia desde el punto de observación a la ubicación de origen en coordenadas cilíndricas. La combinación lineal de las contribuciones de la tasa de fluencia de las dos fuentes de imágenes es
Esto se puede utilizar para obtener reflectancia difusa. D a través de la ley de Fick:
es la distancia desde el punto de observación a la fuente en y es la distancia desde el punto de observación a la fuente de la imagen en B. [1] [4]
Soluciones de teoría de la difusión frente a simulaciones de Monte Carlo
Las simulaciones de transporte de fotones de Monte Carlo, aunque requieren mucho tiempo, predecirán con precisión el comportamiento de los fotones en un medio de dispersión. Los supuestos involucrados en la caracterización del comportamiento de los fotones con la ecuación de difusión generan inexactitudes. Generalmente, la aproximación de difusión es menos precisa a medida que aumenta el coeficiente de absorción μ a y disminuye el coeficiente de dispersión μ s . [5] [6] Para un haz de fotones que incide en un medio de profundidad limitada, el error debido a la aproximación de la difusión es más prominente dentro de una trayectoria libre media de transporte de la ubicación de la incidencia del fotón (donde la radiancia aún no es isotrópica) (Figura 3 ).
Entre los pasos para describir un haz de lápiz incidente en un medio semi-infinito con la ecuación de difusión, convertir el medio de anisotrópico a isotrópico (paso 1) (Figura 4) y convertir el haz en una fuente (paso 2) (Figura 5) generar más error que convertir de una sola fuente a un par de fuentes de imagen (paso 3) (Figura 6). El paso 2 genera el error más significativo. [1] [4]
Figura 3: Reflectancia difusa versus radio de un haz de lápiz incidente según lo determinado por una simulación de Monte Carlo (rojo) y reflectancia difusa versus radio de dos fuentes puntuales isotrópicas según lo determinado por la solución de la teoría de la difusión al RTE (azul). El recorrido libre medio de transporte es de 0,1 cm.
Figura 4: Reflectancia difusa vs. radio del haz de lápiz incidente para un medio anisotrópico (azul) e isotrópico (rojo).
Figura 5: Reflectancia difusa frente al radio de la fuente de fotones para un haz de lápiz (azul) y una fuente puntual isotrópica (rojo).
Figura 6: Reflectancia difusa frente al radio de la fuente de fotones para una fuente puntual isotrópica caracterizada por la solución al RTE (azul) y una simulación de Monte Carlo (rojo).
Ver también
- Método de Monte Carlo para el transporte de fotones
- Transferencia radiativa
Referencias
- ↑ a b c d e f g h i j k l LV Wang y HI Wu (2007). Óptica Biomédica . Wiley. ISBN 978-0-471-74304-0.
- ^ a b c A.Yu. Potlov, SG Proskurin, SV Frolov. "SFM'13 - Reunión de otoño de Saratov, 2013" .CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- ^ a b c RC Haskell; et al. (1994). "Condiciones de frontera para la ecuación de difusión en transferencia radiativa" . Revista de la Sociedad Americana de Óptica A . 11 (10): 2727–2741. doi : 10.1364 / JOSAA.11.002727 . PMID 7931757 .
- ^ a b c LV Wang y SL Jacques (2000). "Fuentes de error en el cálculo de la reflectancia óptica difusa de medios turbios utilizando la teoría de la difusión". Métodos y programas informáticos en biomedicina . 61 (3): 163-170. CiteSeerX 10.1.1.477.877 . doi : 10.1016 / S0169-2607 (99) 00041-3 . PMID 10710179 .
- ^ Yoo, KM; Liu, Feng; Alfano, RR (28 de mayo de 1990). "¿Cuándo falla la aproximación de difusión para describir el transporte de fotones en medios aleatorios?". Cartas de revisión física . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 64 (22): 2647–2650. doi : 10.1103 / physrevlett.64.2647 . ISSN 0031-9007 . PMID 10041774 .
- ^ Alerstam, Erik; Andersson-Engels, Stefan; Svensson, Tomas (2008). "White Monte Carlo para la migración de fotones resuelta en el tiempo" . Revista de Óptica Biomédica . SPIE-Intl Soc Optical Eng. 13 (4): 041304. doi : 10.1117 / 1.2950319 . ISSN 1083-3668 . PMID 19021312 .
Otras lecturas
- LV Wang y HI Wu (2007). Óptica Biomédica . Wiley. ISBN 978-0-471-74304-0.
- SG Proskurin (2011). "Quantum Electron. 41 402". Electrónica cuántica . 41 (5): 402–406. doi : 10.1070 / QE2011v041n05ABEH014597 . (2011)