Energia potencial electrica

No confundir con Potencial eléctrico o Potencia eléctrica .

Este artículo trata sobre la energía potencial eléctrica de magnitud física. Para energía eléctrica, consulte Energía eléctrica . Para fuentes de energía, consulte Desarrollo energético . Para la generación de electricidad, consulte Generación de electricidad .

Energia potencial electrica
Símbolos comunes	U E
Unidad SI	julio (J)
Derivaciones de otras cantidades	U E = C · V 2 /2

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Científicos Amperio Biot Culombio Davy Einstein Faraday Fizeau Gauss Heaviside Enrique Hertz Joule Lenz Lorentz Maxwell Ørsted Ohm Ritchie Savart Cantante Tesla Volta Weber Poisson
v t mi

La energía potencial eléctrica es una energía potencial (medida en julios ) que resulta de las fuerzas conservadoras de Coulomb y está asociada con la configuración de un conjunto particular de cargas puntuales dentro de un sistema definido . Un objeto puede tener energía potencial eléctrica en virtud de dos elementos clave: su propia carga eléctrica y su posición relativa a otros objetos cargados eléctricamente .

El término "energía potencial eléctrica" se utiliza para describir la energía potencial en sistemas con tiempo variante campos eléctricos , mientras que el término "energía potencial electrostático" se utiliza para describir la energía potencial en los sistemas con invariantes en el tiempo los campos eléctricos.

Definición

La energía potencial eléctrica de un sistema de cargas puntuales se define como el trabajo requerido para ensamblar este sistema de cargas acercándolos, como en el sistema desde una distancia infinita. Alternativamente, la energía potencial eléctrica de cualquier carga o sistema de cargas dado se denomina como el trabajo total realizado por un agente externo para llevar la carga o el sistema de cargas desde el infinito a la configuración actual sin sufrir ninguna aceleración.

La energía potencial electrostática, U _E , de una carga puntual q en la posición r en presencia de un campo eléctrico E se define como el negativo del trabajo W realizado por la fuerza electrostática para traerlo desde la posición de referencia r _ref ^{[nota 1 ]} a esa posición r . ^{[1] [2] : §25–1}

${\displaystyle U_{\mathrm {E} }(\mathbf {r} )=-W_{r_{\rm {ref}}\rightarrow r}=-\int _{{\mathbf {r} }_{\rm {ref}}}^{\mathbf {r} }q\mathbf {E} (\mathbf {r'} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {r'} }$,

donde E es el campo electrostático y d r ' es el vector de desplazamiento en una curva desde la posición de referencia r _ref hasta la posición final r .

La energía potencial electrostática también se puede definir a partir del potencial eléctrico de la siguiente manera:

La energía potencial electrostática, U _E , de una carga puntual q en la posición r en presencia de un potencial eléctrico se define como el producto de la carga y el potencial eléctrico.${\displaystyle \scriptstyle \Phi }$

${\displaystyle U_{\mathrm {E} }(\mathbf {r} )=q\Phi (\mathbf {r} )}$,

donde es el potencial eléctrico generado por las cargas, que es función de la posición r .${\displaystyle \scriptstyle \Phi }$

Unidades

La unidad SI de energía potencial eléctrica es el joule (llamado así por el físico inglés James Prescott Joule ). En el sistema CGS, el ergio es la unidad de energía, que es igual a 10 ⁻⁷ julios. También se pueden utilizar electronvoltios , 1 eV = 1,602 × 10 ^-19 Julios.

Energía potencial electrostática de una carga puntual

Una carga puntual q en presencia de otra carga puntual Q

Una carga puntual q en el campo eléctrico de otra carga Q.

La energía potencial electrostática, U _E , de una carga puntual q en la posición r en presencia de una carga puntual Q , tomando una separación infinita entre las cargas como posición de referencia, es:

${\displaystyle U_{E}(r)=k_{e}{\frac {qQ}{r}}}$,

donde es la constante de Coulomb , r es la distancia entre las cargas puntuales q y Q , yq y Q son las cargas (no los valores absolutos de las cargas, es decir, un electrón tendría un valor de carga negativo cuando se coloca en la fórmula) . El siguiente esquema de prueba establece la derivación de la definición de energía potencial eléctrica y la ley de Coulomb a esta fórmula.${\displaystyle k_{e}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}}$

Esquema de la prueba

La fuerza electrostática F que actúa sobre una carga q se puede escribir en términos del campo eléctrico E como ${\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {E} }$, Por definición, el cambio en la energía potencial electrostática, U E , de una carga puntual q que se ha movido desde la posición de referencia r ref a la posición r en presencia de un campo eléctrico E es el negativo del trabajo realizado por la fuerza electrostática para llévelo de la posición de referencia r ref a esa posición r . ${\displaystyle U_{E}(r)-U_{E}(r_{\rm {ref}})=-W_{r_{\rm {ref}}\rightarrow r}=-\int _{{r}_{\rm {ref}}}^{r}q\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} }$. donde: r = posición en el espacio 3d de la carga q , usando coordenadas cartesianas r = ( x , y , z ), tomando la posición de la carga Q en r = (0,0,0), el escalar r = | r | es la norma del vector de posición, d s = vector de desplazamiento diferencial a lo largo de una trayectoria C que va de r ref a r , ${\displaystyle \scriptstyle W_{r_{\rm {ref}}\rightarrow r}}$es el trabajo realizado por la fuerza electrostática para llevar la carga desde la posición de referencia r ref a r , Por lo general, U E se establece en cero cuando r ref es infinito: ${\displaystyle U_{E}(r_{\rm {ref}}=\infty )=0}$ asi que ${\displaystyle U_{E}(r)=-\int _{\infty }^{r}q\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} }$ Cuando el rizo ∇ × E es cero, la integral de línea anterior no depende de la ruta específica C elegida, sino solo de sus puntos finales. Esto sucede en campos eléctricos invariantes en el tiempo. Cuando se habla de energía potencial electrostática, siempre se asume que los campos eléctricos invariantes en el tiempo, en este caso, el campo eléctrico es conservador y se puede usar la ley de Coulomb. Usando la ley de Coulomb , se sabe que la fuerza electrostática F y el campo eléctrico E creado por una carga puntual discreta Q se dirigen radialmente desde Q . Por la definición del vector de posición r y el desplazamiento del vector s , se deduce que r y s también están dirigidos radialmente desde Q . Entonces, E y d s deben ser paralelas: ${\displaystyle \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =|\mathbf {E} |\cdot |\mathrm {d} \mathbf {s} |\cos(0)=E\mathrm {d} s}$ Usando la ley de Coulomb, el campo eléctrico está dado por ${\displaystyle |\mathbf {E} |=E={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q}{s^{2}}}}$ y la integral se puede evaluar fácilmente: ${\displaystyle U_{E}(r)=-\int _{\infty }^{r}q\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =-\int _{\infty }^{r}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {qQ}{s^{2}}}{\rm {d}}s={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {qQ}{r}}=k_{e}{\frac {qQ}{r}}}$

Una carga puntual q en presencia de n cargas puntuales Q _i

Energía potencial electrostática de q debido al sistema de carga Q ₁ y Q ₂ :${\displaystyle U_{E}=q{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {Q_{1}}{r_{1}}}+{\frac {Q_{2}}{r_{2}}}\right)}$

La energía potencial electrostática, U _E , de una carga puntual q en presencia de n cargas puntuales Q _i , tomando una separación infinita entre las cargas como posición de referencia, es:

${\displaystyle U_{E}(r)=k_{e}q\sum _{i=1}^{n}{\frac {Q_{i}}{r_{i}}}}$,

donde es la constante de Coulomb , r _i es la distancia entre las cargas puntuales q y Q _i , y q y Q _i son los valores asignados de las cargas.${\displaystyle k_{e}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}}$

Energía potencial electrostática almacenada en un sistema de cargas puntuales

La energía potencial electrostática U _E almacenada en un sistema de N cargas q ₁ , q ₂ , ..., q _N en las posiciones r ₁ , r ₂ , ..., r _N respectivamente, es:

${\displaystyle U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}q_{i}\Phi (\mathbf {r} _{i})={\frac {1}{2}}k_{e}\sum _{i=1}^{N}q_{i}\sum _{j=1,...,N\,(j\neq i)}{\frac {q_{j}}{r_{ij}}}}$,

( 1 )

donde, para cada valor de i , Φ ( r _i ) es el potencial electrostático debido a todas las cargas puntuales excepto la de r _i , ^{[nota 2]} y es igual a:

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} _{i})=k_{e}\sum _{j=1,...,N\,(j\neq i)}{\frac {q_{j}}{\mathbf {r} _{ij}}}}$,

donde r _ij es la distancia entre q _i y q _j .

Esquema de la prueba

La energía potencial electrostática U E almacenada en un sistema de dos cargas es igual a la energía potencial electrostática de una carga en el potencial electrostático generado por la otra. Es decir, si la carga q 1 genera un potencial electrostático Φ 1 , que es función de la posición r , entonces ${\displaystyle U_{\mathrm {E} }=q_{2}\Phi _{1}(\mathbf {r} _{2}).}$ Haciendo el mismo cálculo con respecto al otro cargo, obtenemos ${\displaystyle U_{\mathrm {E} }=q_{1}\Phi _{2}(\mathbf {r} _{1}).}$ La energía potencial electrostática es compartida mutuamente por y , por lo que la energía total almacenada es${\displaystyle q_{1}}$${\displaystyle q_{2}}$ ${\displaystyle U_{E}={\frac {1}{2}}\left[q_{2}\Phi _{1}(\mathbf {r} _{2})+q_{1}\Phi _{2}(\mathbf {r} _{1})\right]}$ Esto se puede generalizar para decir que la energía potencial electrostática U E almacenada en un sistema de N cargas q 1 , q 2 , ..., q N en las posiciones r 1 , r 2 , ..., r N respectivamente, es: ${\displaystyle U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}q_{i}\Phi (\mathbf {r} _{i})}$.

Energía almacenada en un sistema de carga de un punto

La energía potencial electrostática de un sistema que contiene solo una carga puntual es cero, ya que no hay otras fuentes de fuerza electrostática contra las cuales un agente externo deba trabajar para mover la carga puntual desde el infinito hasta su ubicación final.

Surge una pregunta común sobre la interacción de una carga puntual con su propio potencial electrostático. Dado que esta interacción no actúa para mover la carga puntual en sí, no contribuye a la energía almacenada del sistema.

Energía almacenada en un sistema de dos cargas puntuales

Considere llevar una carga puntual, q , a su posición final cerca de una carga puntual, Q ₁ . El potencial electrostático Φ ( r ) debido a Q ₁ es

${\displaystyle \Phi (r)=k_{e}{\frac {Q_{1}}{r}}}$

Por tanto, obtenemos la energía potencial eléctrica de q en el potencial de Q ₁ como

${\displaystyle U_{E}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {qQ_{1}}{r_{1}}}}$

donde r ₁ es la separación entre las dos cargas puntuales.

Energía almacenada en un sistema de cargas de tres puntos

La energía potencial electrostática de un sistema de tres cargas no debe confundirse con la energía potencial electrostática de Q ₁ debido a dos cargas Q ₂ y Q ₃ , porque esta última no incluye la energía potencial electrostática del sistema de las dos cargas. Q ₂ y Q ₃ .

La energía potencial electrostática almacenada en el sistema de tres cargas es:

${\displaystyle U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left[{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r_{12}}}+{\frac {Q_{1}Q_{3}}{r_{13}}}+{\frac {Q_{2}Q_{3}}{r_{23}}}\right]}$

Esquema de la prueba

Usando la fórmula dada en ( 1 ), la energía potencial electrostática del sistema de las tres cargas será entonces: ${\displaystyle U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{2}}\left[Q_{1}\Phi (\mathbf {r} _{1})+Q_{2}\Phi (\mathbf {r} _{2})+Q_{3}\Phi (\mathbf {r} _{3})\right]}$ Donde es el potencial eléctrico en r 1 creado por las cargas Q 2 y Q 3 , es el potencial eléctrico en r 2 creado por las cargas Q 1 y Q 3 , y es el potencial eléctrico en r 3 creado por las cargas Q 1 y Q 2 . Los potenciales son:${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} _{1})}$${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} _{2})}$${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} _{3})}$ ${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} _{1})=\Phi _{2}(\mathbf {r} _{1})+\Phi _{3}(\mathbf {r} _{1})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{2}}{r_{12}}}+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{3}}{r_{13}}}}$ ${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} _{2})=\Phi _{1}(\mathbf {r} _{2})+\Phi _{3}(\mathbf {r} _{2})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{1}}{r_{21}}}+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{3}}{r_{23}}}}$ ${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} _{3})=\Phi _{1}(\mathbf {r} _{3})+\Phi _{2}(\mathbf {r} _{3})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{1}}{r_{31}}}+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{2}}{r_{32}}}}$ Donde r ij es la distancia entre la carga Q i y Q j . Si sumamos todo: ${\displaystyle U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{2}}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left[{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r_{12}}}+{\frac {Q_{1}Q_{3}}{r_{13}}}+{\frac {Q_{2}Q_{1}}{r_{21}}}+{\frac {Q_{2}Q_{3}}{r_{23}}}+{\frac {Q_{3}Q_{1}}{r_{31}}}+{\frac {Q_{3}Q_{2}}{r_{32}}}\right]}$ Finalmente, obtenemos que la energía potencial electrostática almacenada en el sistema de tres cargas: ${\displaystyle U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left[{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r_{12}}}+{\frac {Q_{1}Q_{3}}{r_{13}}}+{\frac {Q_{2}Q_{3}}{r_{23}}}\right]}$

Energía almacenada en una distribución de campo electrostático.

La densidad de energía, o energía por unidad de volumen , del campo electrostático de una distribución de carga continua es:${\displaystyle {\frac {dU}{dV}}}$

${\displaystyle u_{e}={\frac {dU}{dV}}={\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}\left|{\mathbf {E} }\right|^{2}.}$

Esquema de la prueba

Se puede tomar la ecuación para la energía potencial electrostática de una distribución de carga continua y ponerla en términos del campo electrostático . Dado que la ley de Gauss para el campo electrostático en forma diferencial establece ${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$ donde ${\displaystyle \mathbf {E} \ }$ es el vector de campo eléctrico ${\displaystyle \rho \ }$es la densidad de carga total, incluidas las cargas dipolo unidas en un material ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$es la permitividad del espacio libre , luego, ${\displaystyle {\begin{aligned}U&={\frac {1}{2}}\int \limits _{\text{all space}}\rho (r)\Phi (r)\,dV\\&={\frac {1}{2}}\int \limits _{\text{all space}}\varepsilon _{0}(\mathbf {\nabla } \cdot {\mathbf {E} })\Phi \,dV\end{aligned}}}$ entonces, ahora usando la siguiente identidad de vector de divergencia ${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {A} {B})=(\nabla \cdot \mathbf {A} ){B}+\mathbf {A} \cdot (\nabla {B})\Rightarrow (\nabla \cdot \mathbf {A} ){B}=\nabla \cdot (\mathbf {A} {B})-\mathbf {A} \cdot (\nabla {B})}$ tenemos ${\displaystyle U={\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{\text{all space}}\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {E} \Phi )dV-{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{\text{all space}}(\mathbf {\nabla } \Phi )\cdot \mathbf {E} dV}$ usando el teorema de la divergencia y tomando el área como infinito donde${\displaystyle \Phi (\infty )=0}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}U&=\overbrace {{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{{}_{\text{ of space}}^{\text{boundary}}}\Phi \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} } ^{0}-{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{\text{all space}}(-\mathbf {E} )\cdot \mathbf {E} \,dV\\&=\int \limits _{\text{all space}}{\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}\left|{\mathbf {E} }\right|^{2}\,dV.\end{aligned}}}$ Entonces, la densidad de energía, o energía por unidad de volumen del campo electrostático es:${\displaystyle {\frac {dU}{dV}}}$ ${\displaystyle u_{e}={\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}\left|{\mathbf {E} }\right|^{2}.}$

Energía almacenada en elementos electrónicos

La energía potencial eléctrica almacenada en un condensador es U _E = 1 / 2 CV ²

Algunos elementos de un circuito pueden convertir energía de una forma a otra. Por ejemplo, una resistencia convierte la energía eléctrica en calor. Esto se conoce como efecto Joule . Un condensador lo almacena en su campo eléctrico. La energía potencial electrostática total almacenada en un capacitor viene dada por

${\displaystyle U_{E}={\frac {1}{2}}QV={\frac {1}{2}}CV^{2}={\frac {Q^{2}}{2C}}}$

donde C es la capacitancia , V es la diferencia de potencial eléctrico y Q la carga almacenada en el capacitor.

Esquema de la prueba

Se pueden ensamblar cargas a un capacitor en incrementos infinitesimales , de modo que la cantidad de trabajo realizado para ensamblar cada incremento en su ubicación final se puede expresar como${\displaystyle dq\to 0}$ ${\displaystyle W_{q}=Vdq={\frac {q}{C}}dq.}$ El trabajo total realizado para cargar completamente el condensador de esta manera es entonces ${\displaystyle W=\int dW=\int _{0}^{Q}Vdq={\frac {1}{C}}\int _{0}^{Q}qdq={\frac {Q^{2}}{2C}}.}$ donde está la carga total en el condensador. Este trabajo se almacena como energía potencial electrostática, por lo tanto,${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle W=U_{E}={\frac {Q^{2}}{2C}}.}$ En particular, esta expresión solo es válida si , lo que es válido para sistemas de muchas cargas, como condensadores grandes que tienen electrodos metálicos. Para los sistemas de poca carga, la naturaleza discreta de la carga es importante. La energía total almacenada en un condensador de pocas cargas es${\displaystyle dq\to 0}$ ${\displaystyle U_{E}={\frac {Q^{2}}{C}}}$ que se obtiene mediante un método de ensamblaje de carga que utiliza el incremento de carga física más pequeño donde es la unidad elemental de carga y donde es el número total de cargas en el condensador.${\displaystyle \Delta q=e}$${\displaystyle e}$${\displaystyle Q=Ne}$${\displaystyle N}$

La energía potencial electrostática total también se puede expresar en términos del campo eléctrico en la forma

${\displaystyle U_{E}={\frac {1}{2}}\int _{V}\mathrm {E} \cdot \mathrm {D} dV}$

donde es el campo de desplazamiento eléctrico dentro de un material dieléctrico y la integración es sobre todo el volumen del dieléctrico.${\displaystyle \mathrm {D} }$

La energía potencial electrostática total almacenada dentro de un dieléctrico cargado también puede expresarse en términos de una carga de volumen continuo ,${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle U_{E}={\frac {1}{2}}\int _{V}\rho \Phi dV}$

donde la integración se encuentra en todo el volumen del dieléctrico.

Estas dos últimas expresiones son válidas solo para los casos en que el incremento más pequeño de carga es cero ( ), como dieléctricos en presencia de electrodos metálicos o dieléctricos que contienen muchas cargas.${\displaystyle dq\to 0}$

Notas

1. El cero de referencia generalmente se toma como un estado en el que las cargas puntuales individuales están muy bien separadas ("están en una separación infinita") y están en reposo.
2. El factor de la mitad explica el "recuento doble" de los pares de carga. Por ejemplo, considere el caso de solo dos cargos.

Referencias

1. Electromagnetismo (segunda edición), IS Grant, WR Phillips, Manchester Physics Series, 2008 ISBN  0-471-92712-0
2. Halliday, David; Resnick, Robert; Walker, Jearl (1997). "Potencial eléctrico". Fundamentos de Física (5ª ed.). John Wiley e hijos . ISBN 0-471-10559-7.

enlaces externos

• Medios relacionados con la energía potencial eléctrica en Wikimedia Commons