Fórmula de Crofton
En matemáticas , la fórmula de Crofton , llamada así por Morgan Crofton (1826-1915), es un resultado clásico de la geometría integral que relaciona la longitud de una curva con el número esperado de veces que una línea "aleatoria" la cruza.
Suponga que es una curva plana rectificable . Dada una línea orientada ℓ , sea ( ℓ ) el número de puntos en los que y ℓ se intersecan. Podemos parametrizar la línea general ℓ por la dirección en la que apunta y su distancia con signo desde el origen . La fórmula de Crofton expresa la longitud del arco de la curva en términos de una integral sobre el espacio de todas las líneas orientadas:
es invariante bajo movimientos rígidos , por lo que es una medida de integración natural para hablar de un número "promedio" de intersecciones. El lado derecho en la fórmula de Crofton a veces se llama longitud de Favard. [1]
Ambos lados de la fórmula de Crofton son aditivos sobre la concatenación de curvas, por lo que es suficiente para probar la fórmula para un solo segmento de línea. Dado que el lado derecho no depende de la posición del segmento de línea, debe ser igual a alguna función de la longitud del segmento. Como, nuevamente, la fórmula es aditiva sobre la concatenación de segmentos de línea, la integral debe ser una constante multiplicada por la longitud del segmento de línea. Solo queda determinar el factor de 1/4; esto se hace fácilmente calculando ambos lados cuando γ es el círculo unitario .
El espacio de líneas orientadas es una doble cubierta del espacio de líneas no orientadas. La fórmula de Crofton se expresa a menudo en términos de la densidad correspondiente en el último espacio, en el que el factor numérico no es 1/4 sino 1/2. Dado que una curva convexa interseca casi todas las líneas, ya sea dos veces o nada, la fórmula de Crofton no orientada para curvas convexas se puede establecer sin factores numéricos: la medida del conjunto de líneas rectas que intersecan una curva convexa es igual a su longitud.
La fórmula de Crofton se generaliza a cualquier superficie riemanniana ; luego se realiza la integral con la medida natural en el espacio de las geodésicas .