Longitud de arco

La determinación de la longitud de un segmento de arco irregular también se denomina rectificación de una curva. El advenimiento del cálculo infinitesimal condujo a una fórmula general que proporciona soluciones de forma cerrada en algunos casos.

Se puede aproximar una curva en el plano conectando un número finito de puntos en la curva usando segmentos de línea para crear una trayectoria poligonal . Dado que es sencillo calcular la longitud de cada segmento lineal (utilizando el teorema de Pitágoras en el espacio euclidiano, por ejemplo), la longitud total de la aproximación se puede encontrar sumando las longitudes de cada segmento lineal;esa aproximación se conoce como distancia cordal (acumulativa) . ^[1]

Si la curva aún no es una trayectoria poligonal, el uso de un número progresivamente mayor de segmentos de longitudes más pequeñas dará como resultado mejores aproximaciones. Las longitudes de las aproximaciones sucesivas no disminuirán y pueden seguir aumentando indefinidamente, pero para curvas suaves tenderán a un límite finito a medida que las longitudes de los segmentos se vuelvan arbitrariamente pequeñas .

Para algunas curvas hay un número más pequeño que es un límite superior en la longitud de todas las aproximaciones poligonales. Estas curvas se denominan rectificables y la longitud del arco se define como el número .${\ estilo de visualización L}$${\ estilo de visualización L}$

Sea una función inyectiva y continuamente diferenciable . La longitud de la curva definida por se puede definir como el límite de la suma de las longitudes de los segmentos de línea para una partición regular de cuando el número de segmentos se acerca al infinito. Esto significa${\displaystyle f\dos puntos [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}$${\ estilo de visualización f}$${\ estilo de visualización [a, b]}$

La última igualdad anterior es verdadera por lo siguiente: (i) por el teorema fundamental del cálculo, ; (ii) la función es continua, por lo que es uniformemente continua , por lo que existe una función real positiva de real positivo tal que implica Esto significa${\displaystyle f(t_{i})-f(t_{i-1})=\Delta t\int _{0}^{1}f'(\theta t_{i}+(1-\theta ) t_{i-1})\ d\theta }$${\ estilo de visualización \ izquierda | f' \ derecha |}$${\ estilo de visualización \ delta (\ varepsilon)}$${\ estilo de visualización \ varepsilon}$${\displaystyle \Delta t<\delta (\varepsilon)}$${\displaystyle \left|\left|f'(t_{i-1}+\theta _{i}(t_{i}-t_{i-1}))\right|-\left|f'(t_ {i})\right|\right|<\varepsilon.}$

Cuando se rectifica, la curva da un segmento de línea recta con la misma longitud que la longitud del arco de la curva.

Longitud de arco s de una espiral logarítmica en función de su parámetro θ .

Aproximación por múltiples segmentos lineales

Cuarto de círculo

Método de Fermat para determinar la longitud del arco.

La curva de Koch.

La gráfica de x sin(1/ x ).