producto cruzado

En matemáticas , el producto cruz o producto vectorial (ocasionalmente producto de área dirigido , para enfatizar su significado geométrico) es una operación binaria en dos vectores en un espacio vectorial euclidiano tridimensional orientado (nombrado aquí ), y se denota con el símbolo . Dados dos vectores linealmente independientes $a$ y $b$ , el producto vectorial, $a$ $\times$ $b$ (léase "a cross b"), es un vector que es perpendicular tanto a a $como a$ b $,$ [ ^1] ${\ estilo de visualización E}$ ${\ estilo de visualización \ veces}$ y por lo tanto normales al plano que los contiene. Tiene muchas aplicaciones en matemáticas, física , ingeniería y programación de computadoras . No debe confundirse con el producto escalar (producto de proyección).

Si dos vectores tienen la misma dirección o tienen direcciones exactamente opuestas entre sí (es decir, no son linealmente independientes), o si cualquiera de ellos tiene longitud cero, entonces su producto vectorial es cero. ^[2] Más generalmente, la magnitud del producto es igual al área de un paralelogramo con los vectores de los lados; en particular, la magnitud del producto de dos vectores perpendiculares es el producto de sus longitudes.

El producto vectorial es anticonmutativo (es decir, $a \times b = - b \times a$ ) y es distributivo sobre la suma (es decir, $a \times (b + c) = a \times b + a \times c$ ). ^[1] El espacio junto con el producto vectorial es un álgebra sobre los números reales , que no es ni conmutativa ni asociativa , sino un álgebra de Lie cuyo producto vectorial es el paréntesis de Lie . ${\ estilo de visualización E}$

Al igual que el producto escalar, depende de la métrica del espacio euclidiano , pero a diferencia del producto escalar, también depende de la elección de orientación (o " mano ") del espacio (es por eso que se necesita un espacio orientado). En relación con el producto vectorial, el producto exterior de vectores se puede utilizar en dimensiones arbitrarias (con un resultado bivector o de 2 formas ) y es independiente de la orientación del espacio.

El producto se puede generalizar de varias maneras, utilizando la orientación y la estructura métrica, al igual que para el producto vectorial tridimensional tradicional, uno puede, en $n$ dimensiones, tomar el producto de $n - 1$ vectores para producir un vector perpendicular a todos ellos. . Pero si el producto se limita a productos binarios no triviales con resultados vectoriales, existe solo en tres y siete dimensiones . ^[3] (Ver § Generalizaciones , a continuación, para otras dimensiones).

El producto vectorial de dos vectores a y b se define solo en el espacio tridimensional y se denota por a × b . En física y matemáticas aplicadas , la notación de cuña a ∧ b se usa a menudo (junto con el nombre de producto vectorial ), ^[4]^[5]^[6] aunque en matemáticas puras dicha notación generalmente se reserva solo para el producto exterior, un abstracción del producto vectorial a $n$ dimensiones.

El producto vectorial con respecto a un sistema de coordenadas diestro

Encontrar la dirección del producto vectorial por la regla de la mano derecha .

El producto vectorial a × b (vertical, en morado) cambia a medida que cambia el ángulo entre los vectores a (azul) y b (rojo). El producto vectorial es siempre ortogonal a ambos vectores, y tiene magnitud cero cuando los vectores son paralelos y magnitud máxima ‖ a ‖‖ b ‖ cuando son ortogonales.

Según la regla de Sarrus , el determinante de una matriz de 3×3 involucra multiplicaciones entre elementos de la matriz identificados por diagonales cruzadas

Vectores de base estándar ( i , j , k , también denominados e ₁ , e ₂ , e ₃ ) y componentes vectoriales de a ( a _x , a _y , a _z , también denominados a ₁ , a ₂ , a ₃ )

Uso de la regla de Sarrus para encontrar el producto vectorial de a y b

Figura 1. El área de un paralelogramo como la magnitud de un producto vectorial

Figura 2. Tres vectores que definen un paralelepípedo

Multiplicación escalar de productos cruzados . Izquierda: Descomposición de b en componentes paralela y perpendicular a a . Derecha: Escalado de los componentes perpendiculares por un número real positivo r (si es negativo, b y el producto vectorial se invierten).

Distributividad de productos cruzados sobre suma de vectores. Izquierda: Los vectores b y c se descomponen en componentes paralelas y perpendiculares a a . Derecha: Las componentes paralelas desaparecen en el producto vectorial, solo permanecen las componentes perpendiculares que se muestran en el plano perpendicular a a . ^[11]

Los dos productos cruzados triples no equivalentes de tres vectores a , b , c . En cada caso, dos vectores definen un plano, el otro está fuera del plano y se puede dividir en componentes paralelos y perpendiculares al producto cruzado de los vectores que definen el plano. Estos componentes se pueden encontrar por proyección y rechazo de vectores . El producto triple está en el plano y se gira como se muestra.

Nemónico para calcular un producto cruzado en forma vectorial

El producto cruz en relación con el producto exterior. En rojo están el vector unitario ortogonal y el bivector unitario "paralelo".