En matemáticas , el producto cruzado de siete dimensiones es una operación bilineal sobre vectores en el espacio euclidiano de siete dimensiones . Asigna a dos vectores cualesquiera a , b enun vector a × b también en. [1] Al igual que el producto cruzado en tres dimensiones, el producto de siete dimensiones es anticomutativo y a × b es ortogonal tanto a a como a b . A diferencia de las tres dimensiones, no satisface la identidad de Jacobi , y aunque el producto cruzado tridimensional es único hasta un signo, existen muchos productos cruzados de siete dimensiones. El producto cruzado de siete dimensiones tiene la misma relación con los octoniones que el producto tridimensional con los cuaterniones .
El producto cruzado de siete dimensiones es una forma de generalizar el producto cruzado a otras dimensiones que no sean tres, y es el único otro producto bilineal de dos vectores que tiene valores vectoriales, es ortogonal y tiene la misma magnitud que en el caso 3D. [2] En otras dimensiones hay productos con valores vectoriales de tres o más vectores que satisfacen estas condiciones y productos binarios con resultados bivectores .
Tabla de multiplicación
× | e 1 | e 2 | e 3 | e 4 | e 5 | e 6 | e 7 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
e 1 | 0 | e 3 | - e 2 | e 5 | - e 4 | - e 7 | e 6 |
e 2 | - e 3 | 0 | e 1 | e 6 | e 7 | - e 4 | - e 5 |
e 3 | e 2 | - e 1 | 0 | e 7 | - e 6 | e 5 | - e 4 |
e 4 | - e 5 | - e 6 | - e 7 | 0 | e 1 | e 2 | e 3 |
e 5 | e 4 | - e 7 | e 6 | - e 1 | 0 | - e 3 | e 2 |
e 6 | e 7 | e 4 | - e 5 | - e 2 | e 3 | 0 | - e 1 |
e 7 | - e 6 | e 5 | e 4 | - e 3 | - e 2 | e 1 | 0 |
El producto se puede dar mediante una tabla de multiplicar, como la que se muestra aquí. Esta tabla, debido a Cayley, [3] [4] da el producto de los vectores base ortonormales e i y e j para cada i , j de 1 a 7. Por ejemplo, de la tabla
La tabla se puede utilizar para calcular el producto de dos vectores cualesquiera. Por ejemplo, para calcular la componente e 1 de x × y, los vectores base que se multiplican para producir e 1 pueden seleccionarse para dar
Esto se puede repetir para los otros seis componentes.
Hay 480 tablas de este tipo, una para cada uno de los productos que satisfacen la definición. [5] Esta tabla se puede resumir en la relación [4]
dónde es un tensor completamente antisimétrico con un valor positivo +1 cuando ijk = 123, 145, 176, 246, 257, 347, 365.
La esquina superior izquierda de 3 × 3 de esta tabla muestra el producto cruzado en tres dimensiones.
Definición
El producto cruz en un espacio euclídeo V es un mapa bilineal de V × V a V , vectores de correlación de x y y en V a otro vector x × y también en V , donde x × y tiene las propiedades [1] [6]
- magnitud :
donde ( x · y ) es el producto escalar euclidiano y | x | es la norma euclidiana . La primera propiedad establece que el producto es perpendicular a sus argumentos, mientras que la segunda propiedad da la magnitud del producto. Una expresión equivalente en términos del ángulo θ entre los vectores [7] es [8]
que es el área de la paralelogramo en el plano de x y y con los dos vectores como lados. [9] Una tercera declaración de la condición de magnitud es
si x × x = 0 se asume como un axioma separado. [10]
Consecuencias de las propiedades definitorias
Dadas las propiedades de bilinealidad, ortogonalidad y magnitud, un producto cruzado distinto de cero existe solo en tres y siete dimensiones. [2] [8] [10] Esto se puede demostrar postulando las propiedades requeridas para el producto cruzado, luego deduciendo una ecuación que solo se satisface cuando la dimensión es 0, 1, 3 o 7. En las dimensiones cero solo existe el vector cero, mientras que en una dimensión todos los vectores son paralelos, por lo que en ambos casos el producto debe ser idénticamente cero.
La restricción a las dimensiones 0, 1, 3 y 7 está relacionada con el teorema de Hurwitz , según el cual las álgebras de división normalizadas solo son posibles en las dimensiones 1, 2, 4 y 8. El producto cruzado se forma a partir del producto del álgebra de división normalizada al restringirlo a las dimensiones imaginarias 0, 1, 3 o 7 del álgebra, lo que da productos distintos de cero en solo tres y siete dimensiones. [11]
En contraste con el producto cruzado tridimensional, que es único (aparte del signo), existen muchos productos cruzados binarios posibles en siete dimensiones. Una forma de ver esto es tener en cuenta que dado cualquier par de vectores x y y y cualquier vector v de magnitud | v | = | x || y | pecado θ en el espacio de cinco dimensiones perpendicular al plano atravesado por x y y , es posible encontrar un producto cruz con una tabla de multiplicación (y un conjunto asociado de vectores de la base) de tal manera que x × y = v . A diferencia de en tres dimensiones, x × y = un × b no implica que una y b se encuentran en el mismo plano que x y y . [8]
Más propiedades se derivan de la definición, incluidas las siguientes identidades:
Otras propiedades siguen solo en el caso tridimensional, y no son satisfechas por el producto cruzado de siete dimensiones, en particular,
Como no se satisface la identidad de Jacobi, el producto cruzado de siete dimensiones no le da a R 7 la estructura de un álgebra de Lie .
Expresiones coordinadas
Para definir un producto cruzado particular, se puede seleccionar una base ortonormal { e j } y proporcionar una tabla de multiplicar que determine todos los productos { e i × e j }. En la sección Ejemplo se describe una posible tabla de multiplicar , pero no es única. [5] A diferencia de las tres dimensiones, hay muchas tablas porque cada par de vectores unitarios es perpendicular a otros cinco vectores unitarios, lo que permite muchas opciones para cada producto cruzado.
Una vez que hemos establecido una tabla de multiplicación, se aplica entonces a vectores generales x y y mediante la expresión de x y y en términos de la base y la ampliación de x × y a través de bilinealidad.
× | e 1 | e 2 | e 3 | e 4 | e 5 | e 6 | e 7 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
e 1 | 0 | e 4 | e 7 | - e 2 | e 6 | - e 5 | - e 3 |
e 2 | - e 4 | 0 | e 5 | e 1 | - e 3 | e 7 | - e 6 |
e 3 | - e 7 | - e 5 | 0 | e 6 | e 2 | - e 4 | e 1 |
e 4 | e 2 | - e 1 | - e 6 | 0 | e 7 | e 3 | - e 5 |
e 5 | - e 6 | e 3 | - e 2 | - e 7 | 0 | e 1 | e 4 |
e 6 | e 5 | - e 7 | e 4 | - e 3 | - e 1 | 0 | e 2 |
e 7 | e 3 | e 6 | - e 1 | e 5 | - e 4 | - e 2 | 0 |
Usando e 1 a e 7 para los vectores base, se da una tabla de multiplicar diferente de la de la Introducción, que conduce a un producto cruzado diferente, con anticomutatividad por [8]
De manera más compacta, esta regla se puede escribir como
con i = 1 ... 7 módulo 7 y los índices i , i + 1 e i + 3 permiten permutar uniformemente. Junto con la anticomutatividad, esto genera el producto. Esta regla produce directamente las dos diagonales inmediatamente adyacentes a la diagonal de ceros en la tabla. Además, a partir de una identidad en la subsección sobre consecuencias ,
que produce diagonales más alejadas, y así sucesivamente.
El componente e j del producto cruzado x × y se obtiene seleccionando todas las apariciones de e j en la tabla y recolectando los componentes correspondientes de x de la columna de la izquierda y de y de la fila superior. El resultado es:
Como el producto cruzado es bilineal, el operador x × - se puede escribir como una matriz, que toma la forma [ cita requerida ]
El producto cruzado viene dado por
Diferentes tablas de multiplicar
En este artículo se han utilizado dos tablas de multiplicar diferentes, y hay más. [5] [12] Estas tablas de multiplicar se caracterizan por el plano de Fano , [13] [14] y se muestran en la figura de las dos tablas utilizadas aquí: arriba, la descrita por Sabinin, Sbitneva y Shestakov, y en el fondo el descrito por Lounesto. Los números debajo de los diagramas de Fano (el conjunto de líneas en el diagrama) indican un conjunto de índices para siete productos independientes en cada caso, interpretados como ijk → e i × e j = e k . La tabla de multiplicar se recupera del diagrama de Fano siguiendo la línea recta que conecta tres puntos cualesquiera, o el círculo en el centro, con un signo como lo indican las flechas. Por ejemplo, la primera fila de multiplicaciones que dan como resultado e 1 en la lista anterior se obtiene siguiendo los tres caminos conectados a e 1 en el diagrama de Fano inferior: el camino circular e 2 × e 4 , el camino diagonal e 3 × e 7 , y la trayectoria del borde e 6 × e 1 = e 5 reordenada utilizando una de las identidades anteriores como:
o
también se obtiene directamente del diagrama con la regla de que dos vectores unitarios cualesquiera en una línea recta están conectados por multiplicación al tercer vector unitario en esa línea recta con signos de acuerdo con las flechas (signo de la permutación que ordena los vectores unitarios).
Se puede ver que ambas reglas de multiplicación se siguen del mismo diagrama de Fano simplemente cambiando el nombre de los vectores unitarios y cambiando el sentido del vector unitario central. Teniendo en cuenta todas las posibles permutaciones de la base, hay 480 tablas de multiplicar, por lo que 480 productos cruzados como este. [14]
Usando álgebra geométrica
El producto también se puede calcular usando álgebra geométrica . El producto comienza con el producto exterior , un producto bivector valorado de dos vectores:
Este es bilineal, alterno, tiene la magnitud deseada, pero no tiene valor vectorial. El vector, y por tanto el producto cruzado, proviene del producto de este bivector con un trivector . En tres dimensiones hasta un factor de escala, solo hay un trivector, el pseudoescalar del espacio, y un producto del bivector anterior y uno de los dos trivectores unitarios da el resultado vectorial, el dual del bivector.
Se realiza un cálculo similar en siete dimensiones, excepto que como los trivectores forman un espacio de 35 dimensiones, hay muchos trivectores que podrían usarse, aunque no cualquier trivector servirá. El trivector que da el mismo producto que la transformación de coordenadas anterior es
Esto se combina con el producto exterior para dar el producto cruzado.
dónde es el operador de contracción izquierdo del álgebra geométrica. [8] [15]
Relación con los octoniones
Así como el producto cruzado tridimensional se puede expresar en términos de cuaterniones , el producto cruzado de 7 dimensiones se puede expresar en términos de octoniones . Después de identificarcon los octoniones imaginarios (el complemento ortogonal de la línea real en), el producto cruzado se da en términos de multiplicación de octoniones por
A la inversa, suponga que V es un espacio euclidiano de 7 dimensiones con un producto cruzado dado. Entonces uno puede definir una multiplicación bilineal en como sigue:
El espacio con esta multiplicación es entonces isomorfo a los octoniones. [dieciséis]
El producto cruzado solo existe en tres y siete dimensiones, ya que siempre se puede definir una multiplicación en un espacio de una dimensión superior como se indicó anteriormente, y se puede demostrar que este espacio es un álgebra de división normalizada . Según el teorema de Hurwitz, tales álgebras solo existen en una, dos, cuatro y ocho dimensiones, por lo que el producto cruzado debe estar en cero, una, tres o siete dimensiones. Los productos en cero y una dimensión son triviales, por lo que los productos cruzados no triviales solo existen en tres y siete dimensiones. [17] [18]
El fracaso del producto cruzado de 7 dimensiones para satisfacer la identidad de Jacobi se debe a la no asociatividad de los octoniones. De echo,
donde [ x , y , z ] es el asociador .
Rotaciones
En tres dimensiones el producto cruzado es invariante bajo la acción del grupo de rotación, SO (3) , por lo que el producto cruzado de x y y después se hacen girar es la imagen de x × y bajo la rotación. Pero esta invariancia no es cierta en siete dimensiones; es decir, el producto cruzado no es invariante bajo el grupo de rotaciones en siete dimensiones, SO (7) . En cambio, es invariante bajo el grupo de Lie excepcional G 2 , un subgrupo de SO (7). [8] [16]
Generalizaciones
Los productos cruzados binarios distintos de cero existen solo en tres y siete dimensiones. Son posibles más productos si se elimina la restricción de que debe ser un producto binario. [19] [20] Requerimos que el producto sea multilineal , alterno , con valores vectoriales y ortogonal a cada uno de los vectores de entrada a i . El requisito de ortogonalidad implica que en n dimensiones, no se pueden usar más de n - 1 vectores. La magnitud del producto debe ser igual al volumen del paraleloótopo con los vectores como aristas, que se pueden calcular utilizando el determinante de Gram . Las condiciones son
- ortogonalidad:
- por .
- el determinante de Gram:
El determinante de Gram es el volumen al cuadrado del paralelopo con a 1 , ..., a k como aristas.
Con estas condiciones solo existe un producto cruzado no trivial:
- como un producto binario en tres y siete dimensiones
- como producto de n - 1 vectores en n ≥ 3 dimensiones, siendo el dual de Hodge del producto exterior de los vectores
- como producto de tres vectores en ocho dimensiones
Una versión del producto de tres vectores en ocho dimensiones viene dada por
donde v es el mismo trivector que se usa en siete dimensiones,es nuevamente la contracción izquierda, y w = - ve 12 ... 7 es un 4-vector.
También hay productos triviales. Como ya se señaló , un producto binario solo existe en 7, 3, 1 y 0 dimensiones, siendo las dos últimas idénticamente cero. Otro 'producto' trivial surge en dimensiones pares, que toma un solo vector y produce un vector de la misma magnitud ortogonal a él a través de la contracción izquierda con un bivector adecuado. En dos dimensiones, se trata de una rotación en ángulo recto.
Como una generalización adicional, podemos relajar los requisitos de multilinealidad y magnitud, y considerar una función continua general (dónde es dotado del producto interior euclidiano y ) que solo se requiere para satisfacer las siguientes dos propiedades:
- El producto cruzado es siempre ortogonal a todos los vectores de entrada.
- Si los vectores de entrada son linealmente independientes, entonces el producto cruzado es distinto de cero.
Bajo estos requisitos, el producto cruzado solo existe (I) para , (II) para , (III) para , y (IV) para cualquier . [1]
Ver también
- Álgebra de composición
Notas
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Si se requieren solo tres propiedades básicas del producto cruzado ... resulta que un producto cruzado de vectores existe solo en el espacio euclidiano tridimensional y 7 dimensional.
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