Como consecuencia de sus relaciones definitorias, el grupo cuántico puede considerarse como un álgebra de Hopf sobre el campo de todas las funciones racionales de un q indeterminado sobre, denotado .
Para raíz simple y entero no negativo , definir
En un módulo integrable y por peso , un vector (es decir, un vector en con peso ) se puede descomponer de forma única en las sumas
dónde , , sólo si , y sólo si .
Mapeos lineales se puede definir en por
Dejar ser el dominio integral de todas las funciones racionales en que son regulares en ( es decir, una función racional es un elemento de si y solo si existen polinomios y en el anillo polinomial tal que , y ). Una base de cristal para es un par ordenado , tal que
- es gratis -submódulo de tal que
- es un -base del espacio vectorial encima
- y , dónde y
- y
- y
Para poner esto en un escenario más informal, las acciones de y son generalmente singulares en en un módulo integrable . Las asignaciones lineales y en el módulo se introducen para que las acciones de y son regulares en en el módulo. Existe un-base de vectores de peso por , respecto del cual las acciones de y son regulares en por todo i . A continuación, el módulo se limita a la versión gratuita.-módulo generado por la base, y los vectores base, el -submódulo y las acciones de y son evaluados en . Además, la base puede elegirse de modo que en, para todos , y están representados por transposiciones mutuas y mapean vectores base a vectores base o 0.
Una base de cristal se puede representar mediante un gráfico dirigido con bordes etiquetados. Cada vértice del gráfico representa un elemento del-base de , y un borde dirigido, etiquetado por i , y dirigido desde el vértice al vértice , representa que (y, de manera equivalente, que ), dónde es el elemento base representado por , y es el elemento base representado por . El gráfico determina completamente las acciones de y a . Si un módulo integrable tiene una base de cristal, entonces el módulo es irreducible si y solo si el gráfico que representa la base de cristal está conectado (un gráfico se llama "conectado" si el conjunto de vértices no se puede dividir en la unión de subconjuntos disjuntos no triviales y tal que no hay aristas que unan ningún vértice en a cualquier vértice en ).
Para cualquier módulo integrable con una base de cristal, el espectro de peso para la base de cristal es el mismo que el espectro de peso para el módulo y, por lo tanto, el espectro de peso para la base de cristal es el mismo que el espectro de peso para el módulo correspondiente del Álgebra de Kac-Moody. Las multiplicidades de los pesos en la base del cristal también son las mismas que sus multiplicidades en el módulo correspondiente del álgebra de Kac-Moody correspondiente.
Es un teorema de Kashiwara que cada módulo integrable de mayor peso tiene una base de cristal. Del mismo modo, cada módulo integrable de menor peso tiene una base de cristal.
Productos tensores de bases de cristal
Dejar ser un módulo integrable con base de cristal y ser un módulo integrable con base de cristal . Para bases de cristal, el coproducto, dada por
es adoptado. El módulo integrable tiene base de cristal , dónde . Para un vector base, definir
Las acciones de y en son dadas por
La descomposición del producto dos módulos integrables de mayor peso en submódulos irreducibles se determina mediante la descomposición del gráfico de la base de cristal en sus componentes conectados (es decir, se determinan los pesos más altos de los submódulos y se determina la multiplicidad de cada peso más alto) .