Grupo de puntos cristalográficos

En cristalografía , un grupo de puntos cristalográficos es un conjunto de operaciones de simetría , correspondientes a uno de los grupos de puntos en tres dimensiones , de modo que cada operación dejaría la estructura de un cristal sin cambios, es decir, los mismos tipos de átomos se colocarían en posiciones similares a las antes de la transformación. Por ejemplo, en un sistema de cristal cúbico primitivo , una rotación de la celda unitaria en 90 grados alrededor de un eje que es perpendicular a dos caras paralelas del cubo, que se cruzan en su centro, es una operación de simetría que proyecta cada átomo a la ubicación de uno de sus vecinos dejando intacta la estructura general del cristal.

En la clasificación de cristales, cada grupo de puntos define una clase de cristal llamada (geométrica) . Hay infinitos grupos de puntos tridimensionales . Sin embargo, la restricción cristalográfica sobre los grupos de puntos generales da como resultado que solo haya 32 grupos de puntos cristalográficos. Estos 32 grupos de puntos son iguales a los 32 tipos de simetrías cristalinas morfológicas (externas) derivadas en 1830 por Johann Friedrich Christian Hessel a partir de una consideración de las formas cristalinas observadas.

El grupo de puntos de un cristal determina, entre otras cosas, la variación direccional de las propiedades físicas que surgen de su estructura, incluidas las propiedades ópticas como la birrefringencia o las características electroópticas como el efecto Pockels . Para un cristal periódico (a diferencia de un cuasicristal ), el grupo debe mantener la simetría de traslación tridimensional que define la cristalinidad.

Notación

Los grupos de puntos se nombran de acuerdo con las simetrías que los componen. Hay varias notaciones estándar utilizadas por cristalógrafos, mineralogistas y físicos .

Para conocer la correspondencia de los dos sistemas a continuación, consulte sistema de cristal .

Notación de moscas de Schoen

Artículo principal: notación de moscas de Schoen

Más información: Grupos de puntos en tres dimensiones

En la notación de Schoenflies , los grupos de puntos se indican mediante un símbolo de letra con un subíndice. Los símbolos utilizados en cristalografía significan lo siguiente:

• C _n (para cíclico ) indica que el grupo tiene un eje de rotación n pliegues. C _nh es C _n con la adición de un plano de espejo (reflexión) perpendicular al eje de rotación . C _nv es C _n con la adición de n planos de espejo paralelos al eje de rotación.
• S _2n (para Spiegel , alemán para espejo ) denota un grupo con solo un eje de rotación-reflexión de 2n veces .
• D _n (para diedro o de dos lados) indica que el grupo tiene un eje de rotación n- veces más n ejes dobles perpendiculares a ese eje. D _nh tiene, además, un plano de espejo perpendicular al eje n- pliegues. D _nd tiene, además de los elementos de D _n , planos de espejo paralelos al eje n- pliegues.
• La letra T (para tetraedro ) indica que el grupo tiene la simetría de un tetraedro. T _d incluye operaciones de rotación inadecuadas , T excluye operaciones de rotación inadecuadas y T _h es T con la adición de una inversión.
• La letra O (para octaedro ) indica que el grupo tiene la simetría de un octaedro (o cubo ), con ( O _h ) o sin ( O ) operaciones impropias (aquellas que cambian la mano).

Debido al teorema de restricción cristalográfica , n = 1, 2, 3, 4 o 6 en un espacio bidimensional o tridimensional.

norte	1	2	3	4	6
C n	C 1	C 2	C 3	C 4	C 6
C nv	C 1v = C 1h	C 2v	C 3v	C 4v	C 6v
C nh	C 1h	C 2h	C 3h	C 4h	C 6h
D n	D 1 = C 2	D 2	D 3	D 4	D 6
D nh	D 1h = C 2v	D 2h	D 3h	D 4h	D 6h
D nd	D 1d = C 2h	D 2d	D 3d	D 4d	D 6d
S 2n	S 2	S 4	S 6	S 8	S 12

D _4d y D _6d están prohibidos porque contienen rotaciones incorrectas con n = 8 y 12 respectivamente. Los 27 grupos de puntos en la tabla más T , T _d , T _h , O y O _h constituyen 32 grupos de puntos cristalográficos.

Notación de Hermann-Mauguin

Artículo principal: notación de Hermann-Mauguin

Una forma abreviada de la notación Hermann-Mauguin comúnmente utilizada para grupos espaciales también sirve para describir grupos de puntos cristalográficos. Los nombres de los grupos son

Clase	Nombres de grupo
Cúbico	23	m 3		432	4 3m	m 3 m
Hexagonal	6	6	6 ⁄ m	622	6 mm	6 m2	6 / mmm
Trigonal	3	3		32	3m	3 m
Tetragonal	4	4	4 ⁄ m	422	4 mm	4 2m	4 / mmm
Ortorrómbico				222		mm2	mmm
Monoclínico	2		2 ⁄ m		metro
Triclínico	1	1						Relaciones de subgrupos de los 32 grupos de puntos cristalográficos (las filas representan órdenes de grupo de abajo hacia arriba como: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 y 48).

La correspondencia entre diferentes notaciones

Sistema de cristal	Hermann-Mauguin		Shubnikov [1]	Schoenflies	Orbifold	Coxeter	Pedido
	(completo)	(corto)
Triclínico	1	1	${\displaystyle 1\ }$	C 1	11	[] +	1
	1	1	${\displaystyle {\tilde {2}}}$	C i = S 2	×	[2 + , 2 + ]	2
Monoclínico	2	2	${\displaystyle 2\ }$	C 2	22	[2] +	2
	metro	metro	${\displaystyle m\ }$	C s = C 1h	*	[]	2
	${\displaystyle {\tfrac {2}{m}}}$	2 / m	${\displaystyle 2:m\ }$	C 2h	2 *	[2,2 + ]	4
Ortorrómbico	222	222	${\displaystyle 2:2\ }$	D 2 = V	222	[2,2] +	4
	mm2	mm2	${\displaystyle 2\cdot m\ }$	C 2v	* 22	[2]	4
	${\displaystyle {\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}}$	mmm	${\displaystyle m\cdot 2:m\ }$	D 2h = V h	* 222	[2,2]	8
Tetragonal	4	4	${\displaystyle 4\ }$	C 4	44	[4] +	4
	4	4	${\displaystyle {\tilde {4}}}$	S 4	2 ×	[2 + , 4 + ]	4
	${\displaystyle {\tfrac {4}{m}}}$	4 / m	${\displaystyle 4:m\ }$	C 4h	4 *	[2,4 + ]	8
	422	422	${\displaystyle 4:2\ }$	D 4	422	[4,2] +	8
	4 mm	4 mm	${\displaystyle 4\cdot m\ }$	C 4v	* 44	[4]	8
	4 2m	4 2m	${\displaystyle {\tilde {4}}\cdot m}$	D 2d = V d	2 * 2	[2 + , 4]	8
	${\displaystyle {\tfrac {4}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}}$	4 / mmm	${\displaystyle m\cdot 4:m\ }$	D 4h	* 422	[4,2]	dieciséis
Trigonal	3	3	${\displaystyle 3\ }$	C 3	33	[3] +	3
	3	3	${\displaystyle {\tilde {6}}}$	C 3i = S 6	3 ×	[2 + , 6 + ]	6
	32	32	${\displaystyle 3:2\ }$	D 3	322	[3,2] +	6
	3m	3m	${\displaystyle 3\cdot m\ }$	C 3v	* 33	[3]	6
	3${\displaystyle {\tfrac {2}{m}}}$	3 m	${\displaystyle {\tilde {6}}\cdot m}$	D 3d	2 * 3	[2 + , 6]	12
Hexagonal	6	6	${\displaystyle 6\ }$	C 6	66	[6] +	6
	6	6	${\displaystyle 3:m\ }$	C 3h	3 *	[2,3 + ]	6
	${\displaystyle {\tfrac {6}{m}}}$	6 / m	${\displaystyle 6:m\ }$	C 6h	6 *	[2,6 + ]	12
	622	622	${\displaystyle 6:2\ }$	D 6	622	[6,2] +	12
	6 mm	6 mm	${\displaystyle 6\cdot m\ }$	C 6v	* 66	[6]	12
	6 m2	6 m2	${\displaystyle m\cdot 3:m\ }$	D 3h	* 322	[3,2]	12
	${\displaystyle {\tfrac {6}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}}$	6 / mmm	${\displaystyle m\cdot 6:m\ }$	D 6h	* 622	[6,2]	24
Cúbico	23	23	${\displaystyle 3/2\ }$	T	332	[3,3] +	12
	${\displaystyle {\tfrac {2}{m}}}$3	m 3	${\displaystyle {\tilde {6}}/2}$	T h	3 * 2	[3 + , 4]	24
	432	432	${\displaystyle 3/4\ }$	O	432	[4,3] +	24
	4 3m	4 3m	${\displaystyle 3/{\tilde {4}}}$	T d	* 332	[3,3]	24
	${\displaystyle {\tfrac {4}{m}}}$3${\displaystyle {\tfrac {2}{m}}}$	m 3 m	${\displaystyle {\tilde {6}}/4}$	O h	* 432	[4,3]	48

Isomorfismos

Ver también: Estructura cristalina § Sistemas cristalinos

Muchos de los grupos de puntos cristalográficos comparten la misma estructura interna. Por ejemplo, los grupos de puntos 1 , 2 ym contienen diferentes operaciones de simetría geométrica (inversión, rotación y reflexión, respectivamente) pero todos comparten la estructura del grupo cíclico Z ₂ . Todos los grupos isomorfos son del mismo orden , pero no todos los grupos del mismo orden son isomorfos. Los grupos de puntos que son isomorfos se muestran en la siguiente tabla: ^[2]

Hermann-Mauguin	Schoenflies	Pedido	Grupo abstracto
1	C 1	1	Z 1	${\displaystyle G_{1}^{1}}$
1	C i = S 2	2	Z 2	${\displaystyle G_{2}^{1}}$
2	C 2	2
metro	C s = C 1h	2
3	C 3	3	Z 3	${\displaystyle G_{3}^{1}}$
4	C 4	4	Z 4	${\displaystyle G_{4}^{1}}$
4	S 4	4
2 / m	C 2h	4	D 2 = Z 2 × Z 2	${\displaystyle G_{4}^{2}}$
222	D 2 = V	4
mm2	C 2v	4
3	C 3i = S 6	6	Z 6	${\displaystyle G_{6}^{1}}$
6	C 6	6
6	C 3h	6
32	D 3	6	D 3	${\displaystyle G_{6}^{2}}$
3m	C 3v	6
mmm	D 2h = V h	8	D 2 × Z 2	${\displaystyle G_{8}^{3}}$
4 / m	C 4h	8	Z 4 × Z 2	${\displaystyle G_{8}^{2}}$
422	D 4	8	D 4	${\displaystyle G_{8}^{4}}$
4 mm	C 4v	8
4 2m	D 2d = V d	8
6 / m	C 6h	12	Z 6 × Z 2	${\displaystyle G_{12}^{2}}$
23	T	12	A 4	${\displaystyle G_{12}^{5}}$
3 m	D 3d	12	D 6	${\displaystyle G_{12}^{3}}$
622	D 6	12
6 mm	C 6v	12
6 m2	D 3h	12
4 / mmm	D 4h	dieciséis	D 4 × Z 2	${\displaystyle G_{16}^{9}}$
6 / mmm	D 6h	24	D 6 × Z 2	${\displaystyle G_{24}^{5}}$
m 3	T h	24	A 4 × Z 2	${\displaystyle G_{24}^{10}}$
432	O	24	S 4	${\displaystyle G_{24}^{7}}$
4 3m	T d	24
m 3 m	O h	48	S 4 × Z 2	${\displaystyle G_{48}^{7}}$

Esta tabla hace uso de grupos cíclicos (Z ₁ , Z ₂ , Z ₃ , Z ₄ , Z ₆ ), grupos diedros (D ₂ , D ₃ , D ₄ , D ₆ ), uno de los grupos alternos (A ₄ ), y uno de los grupos simétricos (S ₄ ). Aquí el símbolo "×" indica un producto directo .

Derivación del grupo de puntos cristalográficos (clase de cristal) del grupo espacial

1. Deje de lado el tipo Bravais
2. Convierta todos los elementos de simetría con componentes de traslación en sus respectivos elementos de simetría sin simetría de traslación (los planos de deslizamiento se convierten en planos de espejo simples; los ejes de tornillo se convierten en ejes de rotación simples)
3. Los ejes de rotación, los ejes de rotoinversión y los planos de espejo permanecen sin cambios.

Ver también

• Simetría molecular
• Grupo de puntos
• Grupo espacial
• Grupos de puntos en tres dimensiones
• Sistema de cristal

Referencias

1. "Copia archivada" . Archivado desde el original el 4 de julio de 2013 . Consultado el 25 de noviembre de 2011 .
2. Novak, I (18 de julio de 1995). "Isomorfismo molecular". Revista europea de física . Publicación de IOP. 16 (4): 151-153. doi : 10.1088 / 0143-0807 / 16/4/001 . ISSN 0143-0807 . 

Enlaces externos

• Símbolos de grupos de puntos en International Tables for Crystallography (2006). Vol. A, cap. 12.1, págs.818-820
• Nombres y símbolos de las 32 clases de cristales en International Tables for Crystallography (2006). Vol. A, cap. 10.1, pág. 794
• Resumen pictórico de los 32 grupos