En geometría , la notación Hermann-Mauguin se usa para representar los elementos de simetría en grupos de puntos , grupos de planos y grupos de espacios . Lleva el nombre del cristalógrafo alemán Carl Hermann (que lo introdujo en 1928) y del mineralogista francés Charles-Victor Mauguin (que lo modificó en 1931). Esta notación a veces se llama notación internacional , porque fue adoptada como estándar por International Tables For Crystallography desde su primera edición en 1935.
La notación de Hermann-Mauguin, en comparación con la notación de Schoenflies , se prefiere en cristalografía porque puede usarse fácilmente para incluir elementos de simetría de traslación y especifica las direcciones de los ejes de simetría. [1]
Grupos de puntos
Los ejes de rotación se indican con un número n - 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ... (ángulo de rotación φ = 360 °/norte). Para rotaciones incorrectas , los símbolos de Hermann-Mauguin muestran ejes de rotoinversión, a diferencia de las notaciones de Schoenflies y Shubnikov, que muestran ejes de rotación-reflexión. Los ejes de rotoinversión están representados por el número correspondiente con un macron , n - 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , .... 2 es equivalente a un plano de espejo y generalmente se anota como m . La dirección del plano del espejo se define como la dirección de la perpendicular a él (la dirección del eje 2 ).
Los símbolos de Hermann-Mauguin muestran ejes y planos no equivalentes de forma simétrica. La dirección de un elemento de simetría corresponde a su posición en el símbolo de Hermann-Mauguin. Si un eje de rotación n y un plano de espejo m tienen la misma dirección (es decir, el plano es perpendicular al eje n ), entonces se denotan como una fracción. norte/metroo n / m .
Si dos o más ejes tienen la misma dirección, se muestra el eje con mayor simetría. Una simetría más alta significa que el eje genera un patrón con más puntos. Por ejemplo, los ejes de rotación 3, 4, 5, 6, 7, 8 generan patrones de 3, 4, 5, 6, 7 y 8 puntos, respectivamente. Los ejes de rotación incorrectos 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 generan patrones de 6, 4, 10, 6, 14 y 8 puntos, respectivamente. Si un eje de rotación y un eje de rotoinversión generan el mismo número de puntos, se debe elegir el eje de rotación. Por ejemplo, el 3/metrocombinación es equivalente a 6 . Dado que 6 genera 6 puntos y 3 genera solo 3, se debe escribir 6 en lugar de 3/metro (no 6/metro, porque 6 ya contiene el plano del espejo m ). Análogamente, en el caso cuando ambos 3 y 3 ejes están presentes, 3 debe escribirse. Como escribimos 4/metro, no 4/metro, porque tanto 4 como 4 generan cuatro puntos. En el caso de la 6/metrocombinación, donde están presentes 2, 3, 6, 3 y 6 ejes, los ejes 3 , 6 y 6 generan patrones de 6 puntos, pero el último debe usarse porque es un eje de rotación; el símbolo será 6/metro.
Finalmente, el símbolo Hermann-Mauguin depende del tipo [ aclaración necesaria ] del grupo .
Grupos sin ejes de orden superior (ejes de orden tres o más)
Estos grupos pueden contener solo ejes dobles, planos de espejo y / o un centro de inversión. Estos son los grupos de puntos de cristalográficos 1 y 1 ( sistema de cristal triclínico ), 2, m , y 2/metro( monoclínico ) y 222, 2/metro2/metro2/metroy mm 2 ( ortorrómbico ). (La forma corta de 2/metro2/metro2/metroes mmm .) Si el símbolo contiene tres posiciones, entonces denotan elementos de simetría en la dirección x , y , z , respectivamente.
Grupos con un eje de orden superior
- Primera posición - dirección primaria - dirección z , asignada al eje de orden superior.
- Segunda posición: direcciones secundarias simétricamente equivalentes , que son perpendiculares al eje z . Estos pueden ser 2, m o 2/metro.
- Tercera posición: direcciones terciarias simétricamente equivalentes , pasando entre direcciones secundarias [ aclaración necesaria ] . Estos pueden ser 2, m o 2/metro.
Estos son los grupos cristalográficos 3, 32, 3 m , 3 y 32/metro( sistema de cristal trigonal ), 4, 422, 4 mm , 4 , 4 2 m , 4/metro, y 4/metro2/metro2/metro( tetragonal ) y 6, 622, 6 mm , 6 , 6 m 2, 6/metro, y 6/metro2/metro2/metro( hexagonal ). De forma análoga, se pueden construir símbolos de grupos no cristalográficos (con ejes de orden 5, 7, 8, 9 ...). Estos grupos se pueden organizar en la siguiente tabla
Schoenflies | Símbolo H – M | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | ... | ∞ |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
C n | norte | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | ... | ∞ |
C nv | Nuevo Méjico | 3 m | 5 m | 7 m | 9 m | 11 m | ∞ m | ||||||
nmm | 4 mm | 6 mm | 8 mm | 10 mm | 12 mm | ||||||||
S 2 n | norte | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | ∞/metro | ||||||
S n | 4 | 8 | 12 | ||||||||||
Cnorte/2h | 6 | 10 | |||||||||||
C nh | norte/metro | 4/metro | 6/metro | 8/metro | 10/metro | 12/metro | |||||||
D n | n 2 | 32 | 52 | 72 | 92 | (11) 2 | ∞2 | ||||||
n 22 | 422 | 622 | 822 | (10) 22 | (12) 22 | ||||||||
D nd | norte2/metro | 32/metro | 52/metro | 72/metro | 92/metro | ( 11 ) 2/metro | ∞/metrometro | ||||||
Dnorte/2D | n 2 m = n m 2 | 4 2 m | 8 2 m | ( 12 ) 2 m | |||||||||
Dnorte/2h | 6 m 2 | ( 10 ) m 2 | |||||||||||
D nh | norte/metro2/metro2/metro | 4/metro2/metro2/metro | 6/metro2/metro2/metro | 8/metro2/metro2/metro | 10/metro2/metro2/metro | 12/metro2/metro2/metro |
Se puede observar que en grupos con ejes de orden impar n y n, la tercera posición en el símbolo siempre está ausente, porque todas las n direcciones, perpendiculares al eje de orden superior, son simétricamente equivalentes. Por ejemplo, en la imagen de un triángulo, los tres planos de espejo ( S 0 , S 1 , S 2 ) son equivalentes: todos pasan por un vértice y el centro del lado opuesto. Para aún orden ejes n y n hay norte/2 direcciones secundarias y norte/2direcciones terciarias. Por ejemplo, en la imagen de un hexágono regular se pueden distinguir dos conjuntos de planos espejo: tres planos atraviesan dos vértices opuestos y otros tres planos atraviesan los centros de lados opuestos. En este caso, se puede elegir cualquiera de los dos conjuntos como direcciones secundarias , el resto serán direcciones terciarias . Por tanto, los grupos 4 2 m , 6 2 m , 8 2 m , ... pueden escribirse como 4 m 2, 6 m 2, 8 m 2, .... Para los símbolos de grupos de puntos, este orden generalmente no importa; sin embargo, será importante para los símbolos de Hermann-Mauguin de correspondientes grupos espaciales, donde las direcciones secundarias son direcciones de elementos de simetría a lo largo de celda unidad traducciones b y c , mientras que las direcciones terciarias corresponden a la dirección entre las traducciones de celda unitaria b y c . Por ejemplo, los símbolos P 6 m 2 y P 6 2 m denotan dos grupos espaciales diferentes. Esto también se aplica a los símbolos de grupos espaciales con ejes de orden impar 3 y 3 . Los elementos de simetría perpendiculares pueden ir a lo largo de celda unidad traducciones b y c o entre ellos. Los grupos espaciales P321 y P312 son ejemplos del primer y último caso, respectivamente.
El símbolo del grupo de puntos 32/metropuede ser confuso; el símbolo de moscas de Schoen correspondiente es D 3 d , lo que significa que el grupo consta de 3 ejes, 3 ejes perpendiculares 2 y 3 planos diagonales verticales que pasan entre estos 2 ejes, por lo que parece que el grupo se puede denotar como 32 mo 3 m 2. Sin embargo, uno debe recordar que, a diferencia de la notación de Schoenflies, la dirección de un plano en un símbolo de Hermann-Mauguin se define como la dirección perpendicular al plano, y en el grupo D 3 d todos los planos espejo son perpendiculares a los ejes de 2 pliegues, por lo que deben escribirse en la misma posición que 2/metro. En segundo lugar, estos 2/metroLos complejos generan un centro de inversión, que combinado con el eje de rotación triple genera un eje de rotoinversión 3 .
Los grupos con n = ∞ se denominan grupos límite o grupos Curie .
Grupos con varios ejes de orden superior
Estos son los grupos cristalográficos de un sistema cristalino cúbico : 23, 432, 2/metro3 , 4 3 m , y 4/metro32/metro. Todos ellos contienen cuatro ejes diagonales triples. Estos ejes están dispuestos como ejes triples en un cubo, dirigidos a lo largo de sus cuatro diagonales espaciales (el cubo tiene 4/metro32/metrosimetría). Estos símbolos se construyen de la siguiente manera:
- Primera posición: direcciones simétricamente equivalentes de los ejes de coordenadas x , y y z . Son equivalentes debido a la presencia de tres ejes diagonales.
- Segunda posición - diagonal de 3 o 3 ejes.
- Tercera posición: direcciones diagonales entre dos de los tres ejes de coordenadas x , y y z . Estos pueden ser 2, m o 2/metro.
Todos los símbolos de Hermann-Mauguin presentados anteriormente se denominan símbolos completos . Para muchos grupos, se pueden simplificar omitiendo n ejes de rotación en norte/metroposiciones. Esto se puede hacer si el eje de rotación puede obtenerse sin ambigüedades a partir de la combinación de elementos de simetría presentados en el símbolo. Por ejemplo, el símbolo corto para 2/metro2/metro2/metroes mmm , para 4/metro2/metro2/metro es 4/metromm , y para 4/metro32/metroes m 3 m . En grupos que contienen un eje de orden superior, este eje de orden superior no se puede omitir. Por ejemplo, símbolos 4/metro2/metro2/metro y 6/metro2/metro2/metrose puede simplificar a 4 / mmm (o 4/metromm ) y 6 / mmm (o 6/metromm ), pero no a mmm ; el símbolo corto para 32/metroes de 3 m . Los símbolos completos y cortos para los 32 grupos de puntos cristalográficos se dan en la página de grupos de puntos cristalográficos .
Además de cinco grupos cúbicos, hay dos grupos icosaédricos no cristalográficos más ( I y I h en notación de Schoenflies ) y dos grupos límite ( K y K h en notación de Schoenflies ). Los símbolos de Hermann-Mauguin no fueron diseñados para grupos no cristalográficos, por lo que sus símbolos son más bien nominales y se basan en la similitud con los símbolos de los grupos cristalográficos de un sistema de cristal cúbico. [2] [3] [4] [5] [6] El grupo I puede indicarse como 235, 25, 532, 53. Los posibles símbolos cortos para I h son m 35 , m 5 , m 5 m , 53 m . Los posibles símbolos para el grupo límite K son ∞∞ o 2∞, y para K h son ∞/metro∞ o m ∞ o ∞∞ m .
Grupos de aviones
Los grupos de planos se pueden representar utilizando el sistema Hermann-Mauguin. La primera letra es p o c minúscula para representar celdas unitarias primitivas o centradas . El siguiente número es la simetría rotacional, como se indicó anteriormente. La presencia de planos de espejo se denota m , mientras que las reflexiones de deslizamiento se denotan g .
Grupos espaciales
El símbolo de un grupo espacial se define combinando la letra mayúscula que describe el tipo de celosía con símbolos que especifican los elementos de simetría. Los elementos de simetría están ordenados de la misma forma que en el símbolo del grupo de puntos correspondiente (grupo que se obtiene si se eliminan todos los componentes traslacionales del grupo espacial). Los símbolos de los elementos de simetría son más diversos porque, además de los ejes de rotación y los planos de espejo, el grupo espacial puede contener elementos de simetría más complejos: ejes de tornillo (combinación de rotación y traslación) y planos de deslizamiento (combinación de reflejo de espejo y traslación). Como resultado, muchos grupos espaciales diferentes pueden corresponder al mismo grupo de puntos. Por ejemplo, eligiendo diferentes tipos de celosía y planos de deslizamiento, se pueden generar 28 grupos espaciales diferentes a partir del grupo de puntos mmm , por ejemplo , Pmmm, Pnnn, Pccm, Pban, Cmcm, Ibam, Fmmm, Fddd.
Tipos de celosía
Estos son los tipos de celosía de Bravais en tres dimensiones:
- P - Primitivo
- I - Centrado en el cuerpo (del alemán "Innenzentriert")
- F : cara centrada (del alemán "Flächenzentriert")
- A - Base centrada solo en caras A
- B - Base centrada solo en caras B
- C - Base centrada solo en caras C
- R - romboédrico
Primitivo, P | Base centrada, C | Cara centrada, F | Cuerpo centrado, yo | Romboédrico en configuración hexagonal, R |
Ejes de tornillo
El eje del tornillo se indica con un número, n , donde el ángulo de rotación es 360 °/norte. El grado de traslación se agrega luego como un subíndice que muestra qué tan lejos a lo largo del eje está la traslación, como una porción del vector reticular paralelo. Por ejemplo, 2 1 es una rotación de 180 ° (doble) seguida de una traslación de 1/2del vector de celosía. 3 1 es una rotación de 120 ° (triple) seguida de una traslación de 1/3 del vector de celosía.
Los posibles ejes de tornillo son: 2 1 , 3 1 , 3 2 , 4 1 , 4 2 , 4 3 , 6 1 , 6 2 , 6 3 , 6 4 y 6 5 . Hay 4 pares de ejes enantiomórficos : (3 1 - 3 2 ), (4 1 - 4 3 ), (6 1 - 6 5 ) y (6 2 - 6 4 ). Este enantiomorfismo da como resultado 11 pares de grupos espaciales enantiomórficos, a saber
Sistema de cristal | Tetragonal | Trigonal | Hexagonal | Cúbico | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Primer grupo Número de grupo | P4 1 76 | P4 1 22 91 | P4 1 2 1 2 92 | P3 1 144 | P3 1 12 152 | P3 1 21 151 | P6 1 169 | P6 2 171 | P6 1 22 178 | P6 2 22 180 | P4 1 32 213 |
Segundo grupo Número de grupo | P4 3 78 | P4 3 22 95 | P4 3 2 1 2 96 | P3 2 145 | P3 2 12 154 | P3 2 21 153 | P6 5 170 | P6 4 172 | P6 5 22 179 | P6 4 22 181 | P4 3 32 212 |
Aviones de planeo
Planos de deslizamiento se caracterizan por un , b , o c dependiendo de qué eje el deslizamiento es a lo largo. También está el deslizamiento n , que es un deslizamiento a lo largo de la mitad de una diagonal de una cara, y el deslizamiento d , que es a lo largo de un cuarto de una diagonal de cara o espacio de la celda unitaria. El deslizamiento d a menudo se denomina plano de deslizamiento del diamante, ya que aparece en la estructura del diamante .
- un , b , o c traducción de deslizamiento a lo largo de la mitad del vector de la red de esta cara.
- n traslación de deslizamiento junto con la diagonal de la mitad de una cara.
- d planos de deslizamiento con traslación a lo largo de un cuarto de la diagonal de una cara.
- e dos deslizamientos con el mismo plano de deslizamiento y traslación a lo largo de dos (diferentes) vectores de media rejilla.
Referencias
- ^ Arenas, Donald E. (1993). "Sistemas cristalinos y geometría". Introducción a la Cristalografía . Mineola, Nueva York: Dover Publications, Inc. p. 165 . ISBN 0-486-67839-3.
- ^ [1]
- ^ Zorky, Petr. "Семейства точечных групп" . www.chem.msu.su . Archivado desde el original el 15 de abril de 2012.
- ^ Vainshtein, Boris K., Cristalografía moderna 1: Fundamentos de los cristales. Simetría y métodos de cristalografía estructural, Springer. 1994, página 93.
- ^ Grupos de puntos en tres dimensiones
- ^ Shubnikov, AV, Belov, NV y otros, Simetría de color, Oxford: Pergamon Press. 1964, página 70.
enlaces externos
- Decodificación de la notación Hermann-Maguin : una introducción a la notación Hermann-Maguin para principiantes.