Grupo de puntos


En geometría , un grupo de puntos es un grupo de simetrías geométricas ( isometrías ) que mantienen al menos un punto fijo. Los grupos de puntos pueden existir en un espacio euclidiano con cualquier dimensión, y cada grupo de puntos en la dimensión d es un subgrupo del grupo ortogonal O ( d ). Los grupos de puntos se pueden realizar como conjuntos de matrices ortogonales M que transforman el punto x en el punto y :

y = Mx

donde el origen es el punto fijo. Los elementos de grupo de puntos pueden ser rotaciones ( determinante de M = 1) o bien reflexiones , o rotaciones impropias (determinante de M = −1).

Los grupos de puntos discretos en más de una dimensión vienen en familias infinitas, pero a partir del teorema de restricción cristalográfica y uno de los teoremas de Bieberbach , cada número de dimensiones tiene solo un número finito de grupos de puntos que son simétricos sobre algún retículo o cuadrícula con ese número. Estos son los grupos de puntos cristalográficos .

Grupos de puntos quirales y aquirales, grupos de reflexión

Los grupos de puntos se pueden clasificar en grupos quirales (o puramente rotacionales) y grupos aquirales . [1] Los grupos quirales son subgrupos del grupo ortogonal especial SO ( d ): contienen solo transformaciones ortogonales que conservan la orientación, es decir, las del determinante +1. Los grupos aquirales también contienen transformaciones del determinante -1. En un grupo aquiral, las transformaciones que conservan la orientación forman un subgrupo (quiral) de índice 2.

Los grupos finitos de Coxeter o grupos de reflexión son aquellos grupos de puntos que se generan puramente por un conjunto de espejos reflectantes que pasan por el mismo punto. Un grupo de Coxeter de rango n tiene n espejos y está representado por un diagrama de Coxeter-Dynkin . La notación de Coxeter ofrece una notación entre corchetes equivalente al diagrama de Coxeter, con símbolos de marcado para grupos de puntos rotacionales y de otra subsimetría. Los grupos de reflexión son necesariamente aquirales (excepto el grupo trivial que contiene solo el elemento de identidad).

Lista de grupos de puntos

Una dimensión

Solo hay dos grupos de puntos unidimensionales, el grupo de identidad y el grupo de reflexión.

Dos dimensiones

Grupos de puntos en dos dimensiones , a veces llamados grupos de rosetas .

Vienen en dos familias infinitas:

  1. Grupos cíclicos C n de n grupos de rotación
  2. Grupos diédricos D n de n grupos de rotación y reflexión

La aplicación del teorema de restricción cristalográfica restringe n a los valores 1, 2, 3, 4 y 6 para ambas familias, lo que produce 10 grupos.

Isomorfismo finito y correspondencias

El subconjunto de grupos de puntos de reflexión puros, definidos por 1 o 2 espejos, también puede estar dado por su grupo Coxeter y polígonos relacionados. Estos incluyen 5 grupos cristalográficos. La simetría de los grupos reflectantes se puede duplicar mediante un isomorfismo , mapeando ambos espejos entre sí mediante un espejo bisector, duplicando el orden de simetría.

Tres dimensiones

Grupos de puntos en tres dimensiones , a veces llamados grupos de puntos moleculares por su amplio uso en el estudio de las simetrías de moléculas pequeñas .

Vienen en 7 familias infinitas de grupos axiales o prismáticos y 7 grupos poliédricos o platónicos adicionales. En notación Schönflies , *

  • Grupos axiales: C n , S 2 n , C n h , C n v , D n , D n d , D n h
  • Grupos poliédricos : T, T d , T h , O, O h , I, I h

La aplicación del teorema de restricción cristalográfica a estos grupos produce 32 grupos de puntos cristalográficos .

Grupos de reflexión

Isomorfismo finito y correspondencias

Los grupos de puntos de reflexión, definidos por 1 a 3 planos de espejo, también pueden estar dados por su grupo de Coxeter y poliedros relacionados. El grupo [3,3] se puede duplicar, escrito como [[3,3]], mapeando el primer y último espejos entre sí, duplicando la simetría a 48 e isomorfo al grupo [4,3].

Cuatro dimensiones

Los grupos de puntos de cuatro dimensiones (quirales y aquirales) se enumeran en Conway y Smith, [1] Sección 4, Tablas 4.1-4.3.

Isomorfismo finito y correspondencias

La siguiente lista da los grupos de reflexión de cuatro dimensiones (excluyendo aquellos que dejan un subespacio fijo y que, por lo tanto, son grupos de reflexión de dimensiones inferiores). Cada grupo se especifica como un grupo Coxeter y, al igual que los grupos poliédricos de 3D, se puede nombrar por su 4-politopo regular convexo relacionado . Existen grupos rotacionales puros relacionados para cada uno con la mitad del orden, y se pueden representar mediante la notación de Coxeter entre corchetes con un exponente '+', por ejemplo, [3,3,3] + tiene tres puntos de giro triples y orden de simetría 60. Los grupos simétricos de anverso y reverso como [3,3,3] y [3,4,3] se pueden duplicar, mostrados como corchetes dobles en la notación de Coxeter, por ejemplo [[3,3,3]] con su orden duplicado a 240 .

Cinco dimensiones

Isomorfismo finito y correspondencias

La siguiente tabla muestra los grupos de reflexión de cinco dimensiones (excluyendo aquellos que son grupos de reflexión de dimensiones inferiores), enumerándolos como grupos de Coxeter . Existen grupos quirales relacionados para cada uno con la mitad del orden, y se pueden representar mediante la notación de Coxeter entre corchetes con un exponente '+', por ejemplo, [3,3,3,3] + tiene cuatro puntos de giro triples y orden de simetría 360 .

Seis dimensiones

Isomorfismo finito y correspondencias

La siguiente tabla muestra los grupos de reflexión de seis dimensiones (excluyendo aquellos que son grupos de reflexión de dimensiones inferiores), enumerándolos como grupos de Coxeter . Existen grupos rotacionales puros relacionados para cada uno con la mitad del orden, y se pueden representar mediante la notación de Coxeter entre corchetes con un exponente '+', por ejemplo, [3,3,3,3,3] + tiene cinco puntos de giro triples y orden de simetría 2520.

Siete dimensiones

La siguiente tabla muestra los grupos de reflexión de siete dimensiones (excluyendo aquellos que son grupos de reflexión de dimensiones inferiores), enumerándolos como grupos de Coxeter . Existen grupos quirales relacionados para cada uno con la mitad del orden, definido por un número par de reflejos, y se pueden representar mediante la notación de Coxeter entre corchetes con un exponente '+', por ejemplo [3,3,3,3,3,3] + tiene seis puntos de giro triples y orden de simetría 20160.

Ocho dimensiones

La siguiente tabla muestra los grupos de reflexión de ocho dimensiones (excluyendo aquellos que son grupos de reflexión de dimensiones inferiores), enumerándolos como grupos de Coxeter . Existen grupos quirales relacionados para cada uno con la mitad del orden, definido por un número par de reflejos, y se pueden representar mediante la notación de Coxeter entre corchetes con un exponente '+', por ejemplo [3,3,3,3,3,3, 3] + tiene siete puntos de giro triples y orden de simetría 181440.