Poliedro Császár

En geometría , el poliedro de Császár (en húngaro: [ˈt͡ʃaːsaːr] ) es un poliedro toroidal no convexo con 14 caras triangulares .

Poliedro Császár
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Una animación del poliedro de Császár girando y desplegando

TipoPoliedro toroidalCaras14 triángulosBordes21Vértices7χ0 (género 1)Configuración de vértice3.3.3.3.3.3Grupo de simetríaC ₁ , [] ⁺ , (11)Poliedro doblePoliedro SzilassiPropiedadesNo convexo

Este poliedro no tiene diagonales ; cada par de vértices está conectado por una arista. Los siete vértices y 21 aristas del poliedro de Császár forman una incrustación del gráfico completo ${\ Displaystyle K_ {7}}$ en un toro topológico . De los 35 triángulos posibles de los vértices del poliedro, solo 14 son caras.

Gráfico completo

Modelo STL de un poliedro de Császár

Proyección ortográfica interactiva de un poliedro de Csaszar. En la imagen SVG , mueva el mouse hacia la izquierda y hacia la derecha para rotar el modelo.

El tetraedro y el poliedro de Császár son los únicos dos poliedros conocidos (que tienen un límite múltiple ) sin diagonales: cada dos vértices del polígono están conectados por una arista, por lo que no hay segmento de línea entre dos vértices que no se encuentre en el poliedro. Perímetro. Es decir, los vértices y aristas del poliedro de Császár forman un gráfico completo .

Si el límite de un poliedro con v vértices forma una superficie con h agujeros, de tal manera que cada par de vértices está conectado por una arista, se sigue por alguna manipulación de la característica de Euler que

{\ Displaystyle h = {\ frac {(v-3) (v-4)} {12}}.}

Esta ecuación se satisface para el tetraedro con h = 0 y v = 4, y para el poliedro de Császár con h = 1 y v = 7. La siguiente solución posible, h = 6 y v = 12, correspondería a un poliedro con 44 caras y 66 aristas, pero no es realizable como poliedro. No se sabe si tal poliedro existe con un género superior ( Ziegler 2008 ).

De manera más general, esta ecuación se puede satisfacer solo cuando v es congruente con 0, 3, 4 o 7 módulo 12 ( Lutz 2001 ).

Historia y poliedros relacionados

El poliedro de Császár lleva el nombre del topólogo húngaro Ákos Császár , quien lo descubrió en 1949. El poliedro dual al poliedro de Császár, el poliedro de Szilassi , fue descubierto más tarde, en 1977, por Lajos Szilassi ; tiene 14 vértices, 21 aristas y siete caras hexagonales , cada una de las cuales comparte una arista con las demás caras. Como el poliedro de Császár, el poliedro de Szilassi tiene la topología de un toro.

Hay otros poliedros conocidos como el poliedro de Schönhardt para el que no hay diagonales interiores (es decir, todas las diagonales están fuera del poliedro), así como superficies no múltiples sin diagonales (Szabó 1984 , 2009 ).

Referencias

Császár, A. (1949), "Un poliedro sin diagonales" (PDF) , Acta Sci. Matemáticas. Szeged , 13 : 140-142.
Gardner, Martin (1988), Viajes en el tiempo y otros desconciertos matemáticos , WH Freeman and Company, págs. 139-152 , ISBN 0-7167-1924-X
Gardner, Martin (1992), Fractal Music, Hypercards and More: Mathematical Recreations from Scientific American , WH Freeman and Company, págs. 118-120, ISBN 0-7167-2188-0
Lutz, Frank H. (2001), "Császár's Torus" , Electronic Geometry Models : 2001.02.069.
Szabó, Sándor (1984), "Poliedros sin diagonales", Periodica Mathematica Hungarica , 15 (1): 41–49, doi : 10.1007 / BF02109370.
Szabó, Sándor (2009), "Poliedros sin diagonales II", Periodica Mathematica Hungarica , 58 (2): 181–187, doi : 10.1007 / s10998-009-10181-x.
Ziegler, Günter M. (2008), "Superficies poliédricas de alto género", en Bobenko, AI; Schröder, P .; Sullivan, JM ; Ziegler, GM (eds.), Geometría diferencial discreta , Seminarios de Oberwolfach, 38 , Springer-Verlag, págs. 191–213, arXiv : math.MG/0412093 , doi : 10.1007 / 978-3-7643-8621-4_10 , ISBN 978-3-7643-8620-7.

enlaces externos

Weisstein, Eric W. "Poliedro Csaszar" . MathWorld .