El poliedro de Szilassi es un poliedro no convexo , topológicamente un toro , con siete caras hexagonales .
Poliedro Szilassi | |
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Tipo | Poliedro toroidal |
Caras | 7 hexágonos |
Bordes | 21 |
Vértices | 14 |
χ | 0 (género 1) |
Configuración de vértice | 6.6.6 |
Grupo de simetría | C 1 , [] + , (11) |
Poliedro doble | Poliedro Császár |
Propiedades | No convexo |
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/8/8f/Szilassi_polyhedron_3D_model.svg/220px-Szilassi_polyhedron_3D_model.svg.png)
Coloración y simetría
Cada cara de este poliedro comparte un borde con la otra cara. Como resultado, se requieren siete colores para colorear todas las caras adyacentes, proporcionando el límite inferior para el teorema de los siete colores . Tiene un eje de simetría de 180 grados ; tres pares de caras son congruentes dejando un hexágono desapareado que tiene la misma simetría rotacional que el poliedro. Los 14 vértices y 21 aristas del poliedro de Szilassi forman una incrustación del gráfico de Heawood en la superficie de un toro. [1]
Adyacencia facial completa
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/7/72/Szilassi_polyhedron.gif/220px-Szilassi_polyhedron.gif)
El tetraedro y el poliedro de Szilassi son los únicos dos poliedros conocidos en los que cada cara comparte un borde entre sí.
Si un poliedro con caras f está incrustado en una superficie con agujeros h , de tal manera que cada cara comparte un borde con la otra cara, se sigue de alguna manipulación de la característica de Euler que
Esta ecuación se satisface para el tetraedro con h = 0 yf = 4, y para el poliedro de Szilassi con h = 1 yf = 7.
La siguiente solución posible, h = 6 yf = 12, correspondería a un poliedro con 44 vértices y 66 aristas. Sin embargo, no se sabe si dicho poliedro se puede realizar geométricamente (en lugar de como un politopo abstracto ). De manera más general, esta ecuación se puede satisfacer con precisión cuando f es congruente con 0, 3, 4 o 7 módulo 12. [2] [3]
Historia
El poliedro de Szilassi lleva el nombre del matemático húngaro Lajos Szilassi , quien lo descubrió en 1977. [4] [1] El poliedro dual del poliedro de Szilassi, el poliedro de Császár , fue descubierto anteriormente por Ákos Császár ( 1949 ); tiene siete vértices, 21 aristas que conectan cada par de vértices y 14 caras triangulares. Como el poliedro de Szilassi, el poliedro de Császár tiene la topología de un toro. [5]
¿Existe un poliedro no convexo con más de siete caras, todas las cuales comparten un borde entre sí?
Referencias
- ^ a b Szilassi, Lajos (1986), "Toroides regulares" (PDF) , Topología estructural , 13 : 69–80
- ^ Jungerman, M .; Ringel, Gerhard (1980), "Triangulaciones mínimas en superficies orientables", Acta Mathematica , 145 (1-2): 121-154, doi : 10.1007 / BF02414187
- ^ Grünbaum, Branko ; Szilassi, Lajos (2009), "Realizaciones geométricas de complejos toroidales especiales", Contribuciones a las matemáticas discretas , 4 (1): 21–39, doi : 10.11575 / cdm.v4i1.61986 , MR 2541986
- ^ Gardner, Martin (1978), "En el que se aplica una estética matemática al arte minimalista moderno", Mathematical Games, Scientific American , 239 (5): 22–32, doi : 10.1038 / scientificamerican1178-22 , JSTOR 24955839
- ^ Császár, Ákos (1949), "Un poliedro sin diagonales", Acta Sci. Matemáticas. Szeged , 13 : 140-142
enlaces externos
- Ace, Tom, el poliedro de Szilassi.
- Peterson, Ivars (2007), "Un poliedro con un agujero", MathTrek , Asociación Matemática de América.
- Weisstein, Eric W. , "Poliedro de Szilassi" , MathWorld
- Poliedro Szilassi - Modelo de Papercraft en CutOutFoldUp.com