La reciprocidad cúbica es una colección de teoremas en la teoría de números elemental y algebraica que establecen las condiciones bajo las cuales la congruencia x 3 ≡ p (mod q ) se puede resolver; la palabra "reciprocidad" viene de la forma del teorema principal , que establece que si p y q son números primarios en el anillo de los enteros Eisenstein , tanto primos entre sí a 3, la congruencia x 3 ≡ p (mod q ) es soluble si y solo si x 3 ≡ q (mod p ) tiene solución.
En algún momento antes de 1748, Euler hizo las primeras conjeturas sobre la residuacidad cúbica de los números enteros pequeños, pero no se publicaron hasta 1849, después de su muerte. [1]
Las obras publicadas de Gauss mencionan los residuos cúbicos y la reciprocidad tres veces: hay un resultado relacionado con los residuos cúbicos en las Disquisitiones Arithmeticae (1801). [2] En la introducción a la quinta y sexta pruebas de reciprocidad cuadrática (1818) [3] dijo que estaba publicando estas pruebas porque sus técnicas ( el lema de Gauss y las sumas gaussianas , respectivamente) se pueden aplicar a la reciprocidad cúbica y bicuadrática. Finalmente, una nota a pie de página en la segunda (de dos) monografías sobre reciprocidad bicuadrática (1832) establece que la reciprocidad cúbica se describe más fácilmente en el anillo de los enteros de Eisenstein. [4]
A partir de su diario y otras fuentes inéditas, parece que Gauss conocía las reglas para la residuacidad cúbica y cuártica de los enteros en 1805, y descubrió los teoremas completos y las pruebas de reciprocidad cúbica y bicuadrática alrededor de 1814. [5] [6] Pruebas de estos se encontraron en sus trabajos póstumos, pero no está claro si son suyos o de Eisenstein. [7]
Jacobi publicó varios teoremas sobre la residuacidad cúbica en 1827, pero ninguna prueba. [8] En sus conferencias de Königsberg de 1836-1837, Jacobi presentó pruebas. [7] Las primeras pruebas publicadas fueron de Eisenstein (1844). [9] [10] [11]
Un residuo cúbico (mod p ) es cualquier número congruente con la tercera potencia de un número entero (mod p ). Si x 3 ≡ a (mod p ) no tiene una solución entera, a es un no residuo cúbico (mod p ). [12]