En teoría de números , las sumas cuadráticas de Gauss son ciertas sumas finitas de raíces de unidad. Una suma cuadrática de Gauss se puede interpretar como una combinación lineal de los valores de la función exponencial compleja con coeficientes dados por un carácter cuadrático; para un carácter general, se obtiene una suma de Gauss más general . Estos objetos llevan el nombre de Carl Friedrich Gauss , quien los estudió extensamente y los aplicó a las leyes de reciprocidad cuadrática , cúbica y bicuadrática .
Definición
Sea p un número primo impar y a un entero. Entonces el Gauss suma en módulo p , g ( una ; p ) , es la siguiente suma de la p ésimo raíces de la unidad :
Si a no es divisible por p , una expresión alternativa para la suma de Gauss (que se puede encontrar evaluando
de dos formas diferentes) es
Aquí χ = (norte/pag) es el símbolo de Legendre , que es un carácter cuadrático módulo p . Una fórmula análoga con un carácter general χ en lugar del símbolo de Legendre define la suma de Gauss G ( χ ) .
Propiedades
- El valor de la suma de Gauss es un número entero algebraico en el p - ésimo campo ciclotómico ℚ ( ζ p ) .
- La evaluación de la suma de Gauss se puede reducir al caso a = 1 :
- (Precaución, esto es cierto para p impares ) .
- El valor exacto de la suma de Gauss, calculado por Gauss, viene dado por la fórmula
- El hecho de que
- fue fácil de probar y condujo a una de las pruebas de reciprocidad cuadrática de Gauss . Sin embargo, la determinación del signo de la suma de Gauss resultó ser considerablemente más difícil: Gauss solo pudo establecerlo después de varios años de trabajo. Más tarde, Peter Gustav Lejeune Dirichlet , Leopold Kronecker , Issai Schur y otros matemáticos encontraron diferentes pruebas.
Sumas cuadráticas generalizadas de Gauss
Deje un , b , c ser números naturales . La suma de Gauss generalizada G ( a , b , c ) se define por
La suma clásica de Gauss es la suma G ( a , c ) = G ( a , 0, c ) .
Propiedades
- La suma de Gauss G ( a , b , c ) depende solo de la clase de residuo de a y b módulo c .
- Las sumas de Gauss son multiplicativas , es decir, dados los números naturales a , b , c , d con mcd ( c , d ) = 1 uno tiene
- Ésta es una consecuencia directa del teorema del resto chino .
- Uno tiene G ( a , b , c ) = 0 si mcd ( a , c )> 1 excepto si mcd ( a , c ) divide b en cuyo caso uno tiene
- Por tanto, en la evaluación de las sumas cuadráticas de Gauss siempre se puede suponer mcd ( a , c ) = 1 .
- Sean a , b , c números enteros con ac ≠ 0 y ac + b pares. Uno tiene el siguiente análogo de la ley de reciprocidad cuadrática para (aún más general) sumas de Gauss [1]
- Definir
- por cada entero impar m . Los valores de las sumas de Gauss con b = 0 y mcd ( a , c ) = 1 están expresamente dados por
- Aquí ( a/C) es el símbolo de Jacobi . Esta es la famosa fórmula de Carl Friedrich Gauss .
- Para b > 0, las sumas de Gauss se pueden calcular fácilmente completando el cuadrado en la mayoría de los casos. Sin embargo, esto falla en algunos casos (por ejemplo, c par y b impar), que se pueden calcular con relativa facilidad por otros medios. Por ejemplo, si c es impar y mcd ( a , c ) = 1 uno tiene
- donde ψ ( a ) es un número con 4 ψ ( a ) a ≡ 1 (mod c ) . Como otro ejemplo, si 4 divisiones c y b es impar y como siempre mcd ( una , c ) = 1 entonces G ( un , b , c ) = 0 . Esto se puede demostrar, por ejemplo, de la siguiente manera: debido a la propiedad multiplicativa de las sumas de Gauss, solo tenemos que demostrar que G ( a , b , 2 n ) = 0 si n > 1 y a , b son impares con mcd ( a , c ) = 1 . Si b es impar, entonces an 2 + bn es par para todo 0 ≤ n < c - 1 . Según el lema de Hensel , para todo q , la ecuación an 2 + bn + q = 0 tiene como máximo dos soluciones en ℤ / 2 n ℤ . Debido a un argumento de conteo, un 2 + bn recorre todas las clases de residuos pares módulo c exactamente dos veces. La fórmula de la suma geométrica muestra que G ( a , b , 2 n ) = 0 .
- Si c es impar y libre de cuadrados y mcd ( a , c ) = 1 entonces
- Si c no está libre de cuadrados, el lado derecho desaparece, mientras que el lado izquierdo no. A menudo, la suma correcta también se denomina suma cuadrática de Gauss.
- Otra fórmula útil es
- si k ≥ 2 y p es un número primo impar o si k ≥ 4 y p = 2 .
Ver también
Referencias
- ^ Teorema 1.2.2 en BC Berndt, RJ Evans, KS Williams, Gauss y Jacobi Sums , john Wiley and Sons, (1998).
- Irlanda; Rosen (1990). Una introducción clásica a la teoría de números moderna . Springer-Verlag. ISBN 0-387-97329-X.
- Berndt, Bruce C .; Evans, Ronald J .; Williams, Kenneth S. (1998). Sumas de Gauss y Jacobi . Wiley e hijos. ISBN 0-471-12807-4.
- Iwaniec, Henryk; Kowalski, Emmanuel (2004). Teoría analítica de números . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 0-8218-3633-1.