simetría octaédrica
Un octaedro regular tiene 24 simetrías de rotación (o de conservación de la orientación) y 48 simetrías en total. Estos incluyen transformaciones que combinan una reflexión y una rotación. Un cubo tiene el mismo conjunto de simetrías, ya que es el poliedro el que es dual a un octaedro.
El grupo de simetrías que conservan la orientación es S 4 , el grupo simétrico o el grupo de permutaciones de cuatro objetos, ya que existe exactamente una simetría de este tipo para cada permutación de las cuatro diagonales del cubo.
La simetría octaédrica quiral y completa (o aquiral ) son las simetrías de puntos discretos (o, de manera equivalente, simetrías en la esfera ) con los grupos de simetría más grandes compatibles con la simetría traslacional . Se encuentran entre los grupos puntuales cristalográficos del sistema de cristal cúbico .
Como el grupo hiperoctaédrico de dimensión 3, el grupo octaédrico completo es el producto de la corona , y una forma natural de identificar sus elementos es como pares con y . Pero como también es el producto directo , uno puede simplemente identificar los elementos del subgrupo tetraédrico T d como y sus inversiones como .
Entonces, por ejemplo, la identidad se representa como y la inversión como . se representa como y como .
Los cuatro ciclos hexagonales tienen en común la inversión (el nudo negro en la parte superior). Los hexágonos son simétricos, por ejemplo, 3 y 4 están en el mismo ciclo.
