Simetría involutiva C s , (*) [] = | Simetría cíclica C nv , (* nn) [n] = | Simetría diedro D nh , (* n22) [n, 2] = | |
Grupo poliédrico , [n, 3], (* n32) | |||
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Simetría tetraédrica T d , (* 332) [3,3] = | Octaédrica simetría O h , (* 432) [4,3] = | Simetría icosaédrica I h , (* 532) [5,3] = |
Los grupos de simetría esférica finita también se denominan grupos de puntos en tres dimensiones . Hay cinco clases de simetría fundamental que tienen dominios fundamentales triangulares: simetría diedro , cíclico , tetraédrico , octaédrico e icosaédrico .
Este artículo enumera los grupos por notación de Schoenflies , notación de Coxeter , [1] notación orbifold , [2] y orden. John Conway usa una variación de la notación de Schoenflies, basada en la estructura algebraica de cuaterniones de los grupos , etiquetada con una o dos letras mayúsculas y subíndices de números enteros. El orden de grupo se define como el subíndice, a menos que el orden se duplique para los símbolos con un prefijo más o menos, "±", lo que implica una inversión central . [3]
También se proporciona la notación Hermann-Mauguin ( notación internacional). Los grupos de cristalografía , 32 en total, son un subconjunto con los órdenes de elementos 2, 3, 4 y 6. [4]
Simetría involutiva
Hay cuatro grupos involutivos : sin simetría (C 1 ), simetría de reflexión (C s ), simetría rotacional doble (C 2 ) y simetría de punto central (C i ).
Intl | Geo [5] | Orbe. | Schön. | Estafa. | Timonel. | Ord. | Fondo. dominio |
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1 | 1 | 11 | C 1 | C 1 | ] [ [] + | 1 | |
2 | 2 | 22 | D 1 = C 2 | D 2 = C 2 | [2] + | 2 | |
1 | 22 | × | C i = S 2 | CC 2 | [2 + , 2 + ] | 2 | |
2 = m | 1 | * | C s = C 1v = C 1h | ± C 1 = CD 2 | [] | 2 |
Simetría cíclica
Hay cuatro familias de simetría cíclica infinitas , con n = 2 o más. ( n puede ser 1 como caso especial ya que no hay simetría )
Intl | Geo | Orbe. | Schön. | Estafa. | Timonel. | Ord. | Fondo. dominio |
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4 | 42 | 2 × | S 4 | CC 4 | [2 + , 4 + ] | 4 | |
2 / m | 2 2 | 2 * | C 2h = D 1d | ± C 2 = ± D 2 | [2,2 + ] [2 + , 2] | 4 |
Intl | Geo | Orbe. | Schön. | Estafa. | Timonel. | Ord. | Fondo. dominio |
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2 3 4 5 6 n | 2 3 4 5 6 n | 22 33 44 55 66 nn | C 2 C 3 C 4 C 5 C 6 C n | C 2 C 3 C 4 C 5 C 6 C n | [2] + [3] + [4] + [5] + [6] + [n] + | 2 3 4 5 6 n | |
2 mm 3 m 4 mm 5 m 6 mm nm (n es impar) nmm (n es par) | 2 3 4 5 6 n | * 22 * 33 * 44 * 55 * 66 * nn | C 2v C 3v C 4v C 5v C 6v C nv | CD 4 CD 6 CD 8 CD 10 CD 12 CD 2n | [2] [3] [4] [5] [6] [n] | 4 6 8 10 12 2n | |
3 8 5 12 - | 62 82 10,2 12,2 2n.2 | 3 × 4 × 5 × 6 × n × | S 6 S 8 S 10 S 12 S 2n | ± C 3 CC 8 ± C 5 CC 12 CC 2n / ± C n | [2 + , 6 + ] [2 + , 8 + ] [2 + , 10 + ] [2 + , 12 + ] [2 + , 2n + ] | 6 8 10 12 2n | |
3 / m = 6 4 / m 5 / m = 10 6 / m n / m | 3 2 4 2 5 2 6 2 n 2 | 3 * 4 * 5 * 6 * n * | C 3h C 4h C 5h C 6h C nh | CC 6 ± C 4 CC 10 ± C 6 ± C n / CC 2n | [2,3 + ] [2,4 + ] [2,5 + ] [2,6 + ] [2, n + ] | 6 8 10 12 2n |
Simetría diedro
Hay tres familias de simetría diédrica infinitas , con n = 2 o más ( n puede ser 1 como caso especial).
Intl | Geo | Orbe. | Schön. | Estafa. | Timonel. | Ord. | Fondo. dominio |
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222 | 2 . 2 | 222 | D 2 | D 4 | [2,2] + | 4 | |
4 2m | 4 2 | 2 * 2 | D 2d | DD 8 | [2 + , 4] | 8 | |
mmm | 22 | * 222 | D 2h | ± D 4 | [2,2] | 8 |
Intl | Geo | Orbe. | Schön. | Estafa. | Timonel. | Ord. | Fondo. dominio |
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32 422 52 622 | 3 . 2 4 . 2 5 . 2 6 . 2 n . 2 | 223 224 225 226 22n | D 3 D 4 D 5 D 6 D n | D 6 D 8 D 10 D 12 D 2n | [2,3] + [2,4] + [2,5] + [2,6] + [2, n] + | 6 8 10 12 2n | |
3 m 8 2m 5 m 12 .2m | 6 2 8 2 10. 2 12. 2 n 2 | 2 * 3 2 * 4 2 * 5 2 * 6 2 * n | D 3d D 4d D 5d D 6d D nd | ± D 6 DD 16 ± D 10 DD 24 DD 4n / ± D 2n | [2 + , 6] [2 + , 8] [2 + , 10] [2 + , 12] [2 + , 2n] | 12 16 20 24 4n | |
6 m2 4 / mmm 10 m2 6 / mmm | 32 42 52 62 n2 | * 223 * 224 * 225 * 226 * 22n | D 3h D 4h D 5h D 6h D nh | DD 12 ± D 8 DD 20 ± D 12 ± D 2n / DD 4n | [2,3] [2,4] [2,5] [2,6] [2, n] | 12 16 20 24 4n |
Simetría poliédrica
Hay tres tipos de simetría poliédrica : simetría tetraédrica , simetría octaédrica y simetría icosaédrica , que reciben su nombre de los poliedros regulares de caras triangulares con estas simetrías.
Intl | Geo | Orbe. | Schön. | Estafa. | Timonel. | Ord. | Fondo. dominio |
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23 | 3 . 3 | 332 | T | T | [3,3] + = [4,3 + ] + | 12 | |
m 3 | 4 3 | 3 * 2 | T h | ± T | [4,3 + ] | 24 | |
4 3m | 33 | * 332 | T d | A | [3,3] = [1 + , 4,3] | 24 |
Intl | Geo | Orbe. | Schön. | Estafa. | Timonel. | Ord. | Fondo. dominio |
---|---|---|---|---|---|---|---|
432 | 4 . 3 | 432 | O | O | [4,3] + = [[3,3]] + | 24 | |
m 3 m | 43 | * 432 | O h | ± O | [4,3] = [[3,3]] | 48 |
Intl | Geo | Orbe. | Schön. | Estafa. | Timonel. | Ord. | Fondo. dominio |
---|---|---|---|---|---|---|---|
532 | 5 . 3 | 532 | I | I | [5,3] + | 60 | |
53 2 / m | 53 | * 532 | Yo h | ± yo | [5,3] | 120 |
Ver también
- Grupo de puntos cristalográficos
- Grupo triangular
- Lista de grupos de simetría plana
- Grupos de puntos en dos dimensiones
Notas
- ↑ Johnson, 2015
- ^ Conway, 2008
- ^ Conway, 2003
- ^ Arenas, 1993
- ^ Los grupos de espacio cristalográfico en álgebra geométrica , D. Hestenes y J. Holt, Journal of Mathematical Physics. 48, 023514 (2007) (22 páginas) PDF [1]
Referencias
- Peter R. Cromwell, Polyhedra (1997), Apéndice I
- Sands, Donald E. (1993). "Sistemas cristalinos y geometría". Introducción a la Cristalografía . Mineola, Nueva York: Dover Publications, Inc. p. 165. ISBN 0-486-67839-3.
- Sobre cuaterniones y octoniones , 2003, John Horton Conway y Derek A. Smith ISBN 978-1-56881-134-5
- Las simetrías de las cosas 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5
- Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [2]
- (Documento 22) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi regulares I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
- (Documento 23) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
- (Documento 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi-regulares III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
- NW Johnson : geometrías y transformaciones , (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Capítulo 11: Grupos de simetría finitos , Tabla 11.4 Grupos finitos de isometrías en 3 espacios
enlaces externos
- Grupos de simetría esférica finita
- Weisstein, Eric W. "Símbolo de Schoenflies" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Grupos de puntos cristalográficos" . MathWorld .
- Los poliedros canónicos más simples de cada tipo de simetría , por David I. McCooey