El grupo C 2 tiene el orden 8 como se muestra en este círculo | El grupo C 3 (O h ) tiene el orden 48, como lo muestran estos dominios de reflexión de triángulos esféricos . |
En matemáticas , un grupo hiperoctaédrico es un tipo importante de grupo que se puede realizar como el grupo de simetrías de un hipercubo o de un politopo cruzado . Fue nombrado por Alfred Young en 1930. Los grupos de este tipo se identifican mediante un parámetro n , la dimensión del hipercubo.
Como grupo Coxeter es de tipo B n = C n , y como grupo Weyl está asociado a los grupos ortogonales en dimensiones impares. Como producto de corona es dónde es el grupo simétrico de grado n . Como grupo de permutación , el grupo es el grupo simétrico de permutaciones con signo π del conjunto {- n , - n + 1, ..., −1, 1, 2, ..., n } o del conjunto { - n , - n + 1, ..., n } tal que π ( i ) = - π (- i ) para todo i . Como grupo de matrices , se puede describir como el grupo de matrices ortogonales n × n cuyas entradas son todas enteras . La teoría de la representación del grupo hiperoctaédrico fue descrita por ( Young 1930 ) según ( Kerber 1971 , p. 2).
En tres dimensiones, el grupo hiperoctaédrico se conoce como O × S 2 donde O ≅ S 4 es el grupo octaédrico y S 2 es un grupo simétrico (aquí un grupo cíclico ) de orden 2. Figuras geométricas en tres dimensiones con este grupo de simetría se dice que tienen simetría octaédrica , nombrada así por el octaedro regular , o 3- ortoplex . En 4 dimensiones se le llama simetría hexadecachórica , después del ortoplex regular de 16 celdas o 4 . En dos dimensiones, la estructura del grupo hiperoctaédrico es el grupo diedro abstracto de orden ocho , que describe la simetría de un cuadrado o 2-ortoplex.
Por dimensión
Los grupos hiperoctaédricos se pueden nombrar como B n , una notación entre corchetes o como un gráfico de grupo de Coxeter:
norte | Grupo de simetría | B n | Notación Coxeter | Pedido | Espejos | Estructura | Politopos regulares relacionados | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
2 | D 4 (* 4 •) | B 2 | [4] | 2 2 2! = 8 | 4 | Cuadrado , octágono | ||
3 | O h ( * 432 ) | B 3 | [4,3] | 2 3 3! = 48 | 3 + 6 | Cubo , octaedro | ||
4 | ± 1 / 6 [OxO] 0,2 [1] (O / V; O / V) * [2] | B 4 | [4,3,3] | 2 4 4! = 384 | 4 + 12 | Tesseract , 16 celdas , 24 celdas | ||
5 | B 5 | [4,3,3,3] | 2 5 5! = 3840 | 5 + 20 | 5 cubos , 5 ortoplex | |||
6 | B 6 | [4,3 4 ] | 2 6 6! = 46080 | 6 + 30 | 6 cubos , 6 ortoplex | |||
... | ||||||||
norte | B n | [4,3 n-2 ] | ... | 2 n n ! = (2 n ) !! | n 2 | hipercubo , ortoplejo |
Subgrupos
Destaca el subgrupo índice dos, correspondiente al grupo Coxeter D n y las simetrías del demihipercubo . Visto como un producto de corona, hay dos mapas naturales del grupo hiperoctaédrico al grupo cíclico de orden 2: un mapa que proviene de "multiplica los signos de todos los elementos" (en las n copias de), y un mapa procedente de la paridad de la permutación. Multiplicar estos juntos da como resultado un tercer mapa. El núcleo del primer mapa es el grupo Coxeter.En términos de permutaciones con signo , consideradas matrices, este tercer mapa es simplemente el determinante, mientras que los dos primeros corresponden a "multiplicar las entradas distintas de cero" y "la paridad de la permutación subyacente (sin signo)", que generalmente no son significativas. para matrices, pero en el caso se deben a la coincidencia con un producto de corona.
Los núcleos de estos tres mapas son los tres subgrupos del índice dos del grupo hiperoctaédrico, como se discute en H 1 : Abelianización a continuación, y su intersección es el subgrupo derivado , del índice 4 (cociente del grupo 4 de Klein), que corresponde al simetrías rotacionales del demihipercubo.
En la otra dirección, el centro es el subgrupo de matrices escalares, {± 1}; geométricamente, el cociente de esto corresponde a pasar al grupo ortogonal proyectivo .
En la dimensión 2, estos grupos describen completamente el grupo hiperoctaédrico, que es el grupo diedro Dih 4 de orden 8 , y es una extensión 2.V (del grupo 4 por un grupo cíclico de orden 2). En general, pasar al subquotiente (subgrupo derivado, centro mod) es el grupo de simetría del demihipercubo proyectivo.
El subgrupo hiperoctaédrico , D n por dimensión:
norte | Grupo de simetría | D n | Notación Coxeter | Pedido | Espejos | Politopos relacionados | |
---|---|---|---|---|---|---|---|
2 | D 2 (* 2 •) | D 2 | [2] = [] × [] | 4 | 2 | Rectángulo | |
3 | T d ( * 332 ) | D 3 | [3,3] | 24 | 6 | tetraedro | |
4 | ± 1 / 3 [Tx T ] 0,2 [3] (T / V; T / V) - * [4] | D 4 | [3 1,1,1 ] | 192 | 12 | 16 celdas | |
5 | D 5 | [3 2,1,1 ] | 1920 | 20 | 5-demicubo | ||
6 | D 6 | [3 3,1,1 ] | 23040 | 30 | 6-demicubo | ||
...norte | D n | [3 n-3,1,1 ] | ... | 2 n-1 n! | n (n-1) | demihipercubo |
La simetría quiral hiper-octaédrica , es el subgrupo directo, índice 2 de la simetría hiper-octaédrica.
norte | Grupo de simetría | Notación Coxeter | Pedido | |
---|---|---|---|---|
2 | C 4 (4 •) | [4] + | 4 | |
3 | O ( 432 ) | [4,3] + | 24 | |
4 | 1 / 6 [O × O] 0,2 [5] (O / V; O / V) [6] | [4,3,3] + | 192 | |
5 | [4,3,3,3] + | 1920 | ||
6 | [4,3,3,3,3] + | 23040 | ||
...norte | [4, (3 n-2 ) + ] | ... | 2 n-1 n! |
Otro subgrupo notable de índice 2 puede llamarse simetría hiperpiritoédrica , por dimensión: [7] Estos grupos tienen n espejos ortogonales en n dimensiones.
norte | Grupo de simetría | Notación Coxeter | Pedido | Espejos | Politopos relacionados | |
---|---|---|---|---|---|---|
2 | D 2 (* 2 •) | [4,1 + ] = [2] | 4 | 2 | Rectángulo | |
3 | T h ( 3 * 2 ) | [4,3 + ] | 24 | 3 | octaedro desaire | |
4 | ± 1 / 3 [T × T] 0,2 [8] (T / V; T / V) * [9] | [4, (3,3) + ] | 192 | 4 | desaire de 24 celdas | |
5 | [4, (3,3,3) + ] | 1920 | 5 | |||
6 | [4, (3,3,3,3) + ] | 23040 | 6 | |||
...norte | [4, (3 n-2 ) + ] | ... | 2 n-1 n! | norte |
Homologia
La homología de grupo del grupo hiperoctaédrico es similar a la del grupo simétrico y exhibe estabilización, en el sentido de la teoría de homotopía estable .
H 1 : abelianización
El primer grupo de homología, que está de acuerdo con la abelianización , se estabiliza en el grupo de cuatro de Klein y viene dado por:
Esto se ve fácilmente directamente: el Los elementos son de orden 2 (que no está vacío para ), y todo conjugado, como son las transposiciones en (que no está vacío para ), y estas son dos clases separadas. Estos elementos generan el grupo, por lo que las únicas abelianizaciones no triviales son para 2 grupos, y cualquiera de estas clases se puede enviar de forma independiente aya que son dos clases separadas. Los mapas se dan explícitamente como "el producto de los signos de todos los elementos" (en las n copias de) y el signo de la permutación. Multiplicar estos juntos produce un tercer mapa no trivial (el determinante de la matriz, que envía estas dos clases a), y junto con el mapa trivial forman el grupo de 4.
H 2 : multiplicadores de Schur
Los segundos grupos de homología, conocidos clásicamente como multiplicadores de Schur , se calcularon en ( Ihara y Yokonuma 1965 ).
Ellos son:
Notas
- ^ Conway, 2003
- ↑ Du Val, 1964, # 47
- ^ Conway, 2003
- ↑ Du Val, 1964, # 42
- ^ Conway, 2003
- ↑ Du Val, 1964, # 27
- ^ Coxeter (1999), p.121, Ensayo 5 Poliedros de sesgo regular
- ^ Conway, 2003
- ↑ Du Val, 1964, # 41
Referencias
- Miller, GA (1918). "Grupos formados por matrices especiales" . Toro. Soy. Matemáticas. Soc . 24 (4): 203–206. doi : 10.1090 / S0002-9904-1918-03043-7 .
- Patrick du Val , homografías, cuaterniones y rotaciones (1964)
- Ihara, Shin-ichiro; Yokonuma, Takeo (1965), "Sobre los segundos grupos de cohomología (multiplicadores de Schur) de grupos de reflexión finitos", Revista de la Facultad de Ciencias. Universidad de Tokio. Sección IA. Matemáticas , 11 : 155-171, ISSN 0040-8980 , MR 0190232
- Kerber, Adalbert (1971), Representaciones de grupos de permutación. I , Lecture Notes in Mathematics, 240 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / BFb0067943 , ISBN 978-3-540-05693-5, MR 0325752
- Kerber, Adalbert (1975), Representaciones de grupos de permutación. II , Lecture Notes in Mathematics, 495 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / BFb0085740 , ISBN 978-3-540-07535-6, MR 0409624
- Young, Alfred (1930), "On Quantitative Substitutional Analysis 5" , Actas de la London Mathematical Society , Serie 2, 31 : 273-288, doi : 10.1112 / plms / s2-31.1.273 , ISSN 0024-6115 , JFM 56.0135 .02
- HSM Coxeter y WOJ Moser. Generadores y relaciones para grupos discretos 4ª ed, Springer-Verlag. Nueva York. 1980 p92, p122
- Baake, M. (1984). "Estructura y representaciones del grupo hiperoctaédrico". J. Math. Phys . 25 (11): 3171. doi : 10.1063 / 1.526087 .
- Stembridge, John R. (1992). "Las representaciones proyectivas del grupo hiperoctaédrico". J. Álgebra . 145 (2): 396–453. doi : 10.1016 / 0021-8693 (92) 90110-8 . hdl : 2027,42 / 30235 .
- Coxeter , La belleza de la geometría: Doce ensayos (1999), Publicaciones de Dover, LCCN 99-35678 , ISBN 0-486-40919-8
- John Horton Conway , Sobre cuaterniones y octoniones (2003)