En geometría , un trocoide (de la palabra griega para rueda, "trochos") es una ruleta formada por un círculo que rueda a lo largo de una línea . En otras palabras, es la curva trazada por un punto fijo a un círculo (donde el punto puede estar dentro, dentro o fuera del círculo) mientras rueda a lo largo de una línea recta. [1] Si el punto está en el círculo, el trocoide se llama común (también conocido como cicloide ); si el punto está dentro del círculo, la trocoide está cortada ; y si el punto está fuera del círculo, la trocoide es prolata. La palabra "trocoide" fue acuñada por Gilles de Roberval . [ cita requerida ]
Descripción básica
Cuando un círculo de radio a rueda sin deslizarse a lo largo de una línea L, el centro C se mueve paralelo a L, y cada otro punto P en el plano giratorio unido rígidamente al círculo traza la curva llamada trocoide. Sea CP = b . Las ecuaciones paramétricas del trocoide para el que L es el eje x son
donde θ es el ángulo variable a través del cual rueda el círculo.
Cortado, común, extendido
Si P se encuentra dentro del círculo ( b < a ), en su circunferencia ( b = a ) o fuera ( b > a ), la trocoide se describe como cortada ("contraída"), común o prolongada ("extendida" ), respectivamente. [2] Un trocoide corto se traza mediante un pedal cuando una bicicleta con cambios normales se pedalea a lo largo de una línea recta. [3] Un trocoide alargado se traza con la punta de una paleta cuando un bote es impulsado con velocidad constante por ruedas de paletas; esta curva contiene bucles. A trochoid común, también llamado un cicloide , tiene cúspides en los puntos donde P toca el L .
Descripción general
Un enfoque más general definiría un trocoide como el lugar geométrico de un punto orbitando a una velocidad constante alrededor de un eje ubicado en,
que eje está siendo traducido en el xy un plano a una velocidad constante en cualquiera de una línea recta,
o una trayectoria circular (otra órbita) alrededor (el caso hipotrocoide / epitrocoide ),
La relación de las tasas de movimiento y si el eje en movimiento se traslada en una trayectoria recta o circular determina la forma de la trocoide. En el caso de una trayectoria recta, una rotación completa coincide con un período de un locus periódico (repetido). En el caso de una trayectoria circular para el eje en movimiento, el lugar geométrico es periódico solo si la relación de estos movimientos angulares,, es un número racional, digamos , dónde Y son coprime , en cuyo caso, un período consta de órbitas alrededor del eje móvil y órbitas del eje móvil alrededor del punto . Los casos especiales de epicicloide e hipocicloide , generados al trazar el lugar geométrico de un punto en el perímetro de un círculo de radio. mientras se rueda en el perímetro de un círculo estacionario de radio , tiene las siguientes propiedades:
dónde es el radio de la órbita del eje móvil. El número de cúspides indicado anteriormente también es válido para cualquier epitrocoide e hipotrocoide, con "cúspides" reemplazadas por "máximos radiales" o "mínimos radiales".
Ver también
Referencias
- ^ Weisstein, Eric W. "Trochoid" . MathWorld .
- ^ "Trocoide" . Xah Math . Consultado el 4 de octubre de 2014 . CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )
- ^ https://www.youtube.com/watch?v=aJhiY70KY5o
enlaces externos
- Experimentos en línea con el trocoide usando JSXGraph