Momentos multipolares cilíndricos

Este artículo no cita ninguna fuente . Por favor, ayuda a mejorar este artículo mediante la adición de citas de fuentes confiables . El material no obtenido puede ser cuestionado y eliminado . Buscar fuentes:  "Momentos cilíndricos multipolares"  -  noticias  · periódicos  · libros  · académico  · JSTOR ( diciembre de 2009 ) ( Aprenda cómo y cuándo eliminar este mensaje de plantilla )

Es posible que el tema de este artículo no cumpla con las pautas generales de notabilidad de Wikipedia . Ayude a demostrar la notoriedad del tema citando fuentes secundarias confiables que sean independientes del tema y brinden una cobertura significativa del mismo más allá de una mera mención trivial. Si no se puede mostrar la notabilidad, es probable que el artículo se fusione , redirija o elimine . Buscar fuentes:  "Momentos cilíndricos multipolares"  -  noticias  · periódicos  · libros  · académico  · JSTOR ( junio de 2018 )( Aprenda cómo y cuándo eliminar este mensaje de plantilla )

Los momentos multipolares cilíndricos son los coeficientes en una expansión en serie de un potencial que varía logarítmicamente con la distancia a una fuente, es decir, como . Tales potenciales surgen en el potencial eléctrico de cargas de línea larga y las fuentes análogas para el potencial magnético y el potencial gravitacional .${\displaystyle \ln \ R}$

Para mayor claridad, ilustramos la expansión para un cargo de una sola línea, luego generalizamos a una distribución arbitraria de los cargos de línea. A través de este artículo, las coordenadas primarias como se refieren a la posición de la línea de carga (s), mientras que las coordenadas no primarias como se refieren al punto en el que se está observando el potencial. Usamos coordenadas cilíndricas en todas partes, por ejemplo, un vector arbitrario tiene coordenadas donde es el radio desde el eje, es el ángulo azimutal y es la coordenada cartesiana normal . Por supuesto, las cargas lineales son infinitamente largas y están alineadas con el eje.${\displaystyle (\rho ^{\prime },\theta ^{\prime })}$${\displaystyle (\rho ,\theta )}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle (\rho ,\theta ,z)}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle z}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle z}$${\displaystyle z}$

Momentos cilíndricos multipolares de una carga lineal

Figura 1: Definiciones de multipolos cilíndricos; mirando hacia abajo del eje${\displaystyle z^{\prime }}$

El potencial eléctrico de una carga de línea ubicada en está dado por${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle (\rho ^{\prime },\theta ^{\prime })}$

${\displaystyle \Phi (\rho ,\theta )={\frac {-\lambda }{2\pi \epsilon }}\ln R={\frac {-\lambda }{4\pi \epsilon }}\ln \left|\rho ^{2}+\left(\rho ^{\prime }\right)^{2}-2\rho \rho ^{\prime }\cos(\theta -\theta ^{\prime })\right|}$

donde es la distancia más corta entre la línea de carga y el punto de observación. ${\displaystyle R}$

Por simetría, el potencial eléctrico de una línea de carga infinita no tiene dependencia. El cargo de línea es el cargo por unidad de longitud en la dirección -y tiene unidades de (carga / longitud). Si el radio del punto de observación es mayor que el radio de la carga lineal, podemos factorizar${\displaystyle z}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle z}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \rho ^{\prime }}$${\displaystyle \rho ^{2}}$

${\displaystyle \Phi (\rho ,\theta )={\frac {-\lambda }{4\pi \epsilon }}\left\{2\ln \rho +\ln \left(1-{\frac {\rho ^{\prime }}{\rho }}e^{i\left(\theta -\theta ^{\prime }\right)}\right)\left(1-{\frac {\rho ^{\prime }}{\rho }}e^{-i\left(\theta -\theta ^{\prime }\right)}\right)\right\}}$

y ampliar los logaritmos en potencias de${\displaystyle (\rho ^{\prime }/\rho )<1}$

${\displaystyle \Phi (\rho ,\theta )={\frac {-\lambda }{2\pi \epsilon }}\left\{\ln \rho -\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{k}}\right)\left({\frac {\rho ^{\prime }}{\rho }}\right)^{k}\left[\cos k\theta \cos k\theta ^{\prime }+\sin k\theta \sin k\theta ^{\prime }\right]\right\}}$

que puede estar escrito como

${\displaystyle \Phi (\rho ,\theta )={\frac {-Q}{2\pi \epsilon }}\ln \rho +\left({\frac {1}{2\pi \epsilon }}\right)\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {C_{k}\cos k\theta +S_{k}\sin k\theta }{\rho ^{k}}}}$

donde los momentos multipolares se definen como y
${\displaystyle Q=\lambda ,}$
${\displaystyle C_{k}={\frac {\lambda }{k}}\left(\rho ^{\prime }\right)^{k}\cos k\theta ^{\prime },}$

${\displaystyle S_{k}={\frac {\lambda }{k}}\left(\rho ^{\prime }\right)^{k}\sin k\theta ^{\prime }.}$

Por el contrario, si el radio del punto de observación es menor que el radio de la carga lineal, podemos factorizar y expandir los logaritmos en potencias de${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \rho ^{\prime }}$${\displaystyle \left(\rho ^{\prime }\right)^{2}}$${\displaystyle (\rho /\rho ^{\prime })<1}$

${\displaystyle \Phi (\rho ,\theta )={\frac {-\lambda }{2\pi \epsilon }}\left\{\ln \rho ^{\prime }-\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{k}}\right)\left({\frac {\rho }{\rho ^{\prime }}}\right)^{k}\left[\cos k\theta \cos k\theta ^{\prime }+\sin k\theta \sin k\theta ^{\prime }\right]\right\}}$

que puede estar escrito como

${\displaystyle \Phi (\rho ,\theta )={\frac {-Q}{2\pi \epsilon }}\ln \rho ^{\prime }+\left({\frac {1}{2\pi \epsilon }}\right)\sum _{k=1}^{\infty }\rho ^{k}\left[I_{k}\cos k\theta +J_{k}\sin k\theta \right]}$

donde los momentos multipolares interiores se definen como y
${\displaystyle Q=\lambda ,}$
${\displaystyle I_{k}={\frac {\lambda }{k}}{\frac {\cos k\theta ^{\prime }}{\left(\rho ^{\prime }\right)^{k}}},}$

${\displaystyle J_{k}={\frac {\lambda }{k}}{\frac {\sin k\theta ^{\prime }}{\left(\rho ^{\prime }\right)^{k}}}.}$

Momentos multipolares cilíndricos generales

La generalización a una distribución arbitraria de cargas de línea es sencilla. La forma funcional es la misma ${\displaystyle \lambda (\rho ^{\prime },\theta ^{\prime })}$

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {-Q}{2\pi \epsilon }}\ln \rho +\left({\frac {1}{2\pi \epsilon }}\right)\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {C_{k}\cos k\theta +S_{k}\sin k\theta }{\rho ^{k}}}}$

y los momentos se pueden escribir

${\displaystyle Q=\int d\theta ^{\prime }\int \rho ^{\prime }d\rho ^{\prime }\lambda (\rho ^{\prime },\theta ^{\prime })}$

${\displaystyle C_{k}=\left({\frac {1}{k}}\right)\int d\theta ^{\prime }\int d\rho ^{\prime }\left(\rho ^{\prime }\right)^{k+1}\lambda (\rho ^{\prime },\theta ^{\prime })\cos k\theta ^{\prime }}$

${\displaystyle S_{k}=\left({\frac {1}{k}}\right)\int d\theta ^{\prime }\int d\rho ^{\prime }\left(\rho ^{\prime }\right)^{k+1}\lambda (\rho ^{\prime },\theta ^{\prime })\sin k\theta ^{\prime }}$

Tenga en cuenta que representa la carga lineal por unidad de área en el avión.${\displaystyle \lambda (\rho ^{\prime },\theta ^{\prime })}$${\displaystyle (\rho -\theta )}$

Momentos multipolares cilíndricos interiores

Del mismo modo, la expansión multipolo cilíndrica interior tiene la forma funcional

${\displaystyle \Phi (\rho ,\theta )={\frac {-Q}{2\pi \epsilon }}\ln \rho ^{\prime }+\left({\frac {1}{2\pi \epsilon }}\right)\sum _{k=1}^{\infty }\rho ^{k}\left[I_{k}\cos k\theta +J_{k}\sin k\theta \right]}$

donde se definen los momentos

${\displaystyle Q=\int d\theta ^{\prime }\int \rho ^{\prime }d\rho ^{\prime }\lambda (\rho ^{\prime },\theta ^{\prime })}$

${\displaystyle I_{k}=\left({\frac {1}{k}}\right)\int d\theta ^{\prime }\int d\rho ^{\prime }\left[{\frac {\cos k\theta ^{\prime }}{\left(\rho ^{\prime }\right)^{k-1}}}\right]\lambda (\rho ^{\prime },\theta ^{\prime })}$

${\displaystyle J_{k}=\left({\frac {1}{k}}\right)\int d\theta ^{\prime }\int d\rho ^{\prime }\left[{\frac {\sin k\theta ^{\prime }}{\left(\rho ^{\prime }\right)^{k-1}}}\right]\lambda (\rho ^{\prime },\theta ^{\prime })}$

Energías de interacción de multipolos cilíndricos

Se puede derivar una fórmula simple para la energía de interacción de multipolos cilíndricos (densidad de carga 1) con una segunda densidad de carga. Sea la segunda densidad de carga y defina como su integral sobre z${\displaystyle f(\mathbf {r} ^{\prime })}$${\displaystyle \lambda (\rho ,\theta )}$

${\displaystyle \lambda (\rho ,\theta )=\int dz\ f(\rho ,\theta ,z)}$

La energía electrostática está dada por la integral de la carga multiplicada por el potencial debido a los multipolos cilíndricos.

${\displaystyle U=\int d\theta \int \rho d\rho \ \lambda (\rho ,\theta )\Phi (\rho ,\theta )}$

Si los multipolos cilíndricos son exteriores , esta ecuación se convierte en

${\displaystyle U={\frac {-Q_{1}}{2\pi \epsilon }}\int \rho d\rho \ \lambda (\rho ,\theta )\ln \rho }$

${\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\ \left({\frac {1}{2\pi \epsilon }}\right)\sum _{k=1}^{\infty }C_{1k}\int d\theta \int d\rho \left[{\frac {\cos k\theta }{\rho ^{k-1}}}\right]\lambda (\rho ,\theta )}$

${\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ +\ \left({\frac {1}{2\pi \epsilon }}\right)\sum _{k=1}^{\infty }S_{1k}\int d\theta \int d\rho \left[{\frac {\sin k\theta }{\rho ^{k-1}}}\right]\lambda (\rho ,\theta )}$

donde , y son los momentos cilíndricos multipolares de distribución de carga 1. Esta fórmula de energía se puede reducir a una forma notablemente simple${\displaystyle Q_{1}}$${\displaystyle C_{1k}}$${\displaystyle S_{1k}}$

${\displaystyle U={\frac {-Q_{1}}{2\pi \epsilon }}\int \rho d\rho \ \lambda (\rho ,\theta )\ln \rho +\left({\frac {1}{2\pi \epsilon }}\right)\sum _{k=1}^{\infty }k\left(C_{1k}I_{2k}+S_{1k}J_{2k}\right)}$

donde y son los multipolos cilíndricos interiores de la segunda densidad de carga. ${\displaystyle I_{2k}}$${\displaystyle J_{2k}}$

La fórmula análoga se cumple si la densidad de carga 1 se compone de multipolos cilíndricos interiores

${\displaystyle U={\frac {-Q_{1}\ln \rho ^{\prime }}{2\pi \epsilon }}\int \rho d\rho \ \lambda (\rho ,\theta )+\left({\frac {1}{2\pi \epsilon }}\right)\sum _{k=1}^{\infty }k\left(C_{2k}I_{1k}+S_{2k}J_{1k}\right)}$

donde y son los momentos multipolares cilíndricos interiores de la distribución de carga 1, y y son los multipolares cilíndricos exteriores de la segunda densidad de carga.${\displaystyle I_{1k}}$${\displaystyle J_{1k}}$${\displaystyle C_{2k}}$${\displaystyle S_{2k}}$

Como ejemplo, estas fórmulas podrían usarse para determinar la energía de interacción de una pequeña proteína en el campo electrostático de una molécula de ADN bicatenario ; este último es relativamente recto y tiene una densidad de carga lineal constante debido a los grupos fosfato de su cadena principal.

Ver también

• Teoría potencial
• Expansión multipolar
• Momentos multipolares axiales
• Momentos multipolares esféricos