Nacido en Bülach (Suiza), Klajner estudió dirección y composición musical en Viena. Completó su formación musical con Gary Bertini (en Salzburgo), Moshe Atzmon (en Asís) y Leonard Bernstein (Tanglewood y Tel Aviv). Fue asistente de este último en la Ópera de Viena y de Claudio Abbado en la Filarmónica de Berlín y el Festival de Salzburgo .
Klajner ha ganado varios concursos internacionales (concurso Min-On en Tokio, Masterplayer en Lugano, Orquesta de Cámara de Viena y concursos Jecklin en Zúrich).
Comenzó su carrera como primer maestro de capilla en Bienne (Suiza) antes de ser nombrado Generalmusikdirektor en Stralsund en Pomerania Occidental a la edad de 26 años y luego, de 1996 a 1998, ocupó el mismo cargo en Hof, Baviera y, de 2000 a 2005 en Würzburg (Baviera) donde también fue director artístico del Festival Mozart .
Al mismo tiempo, sigue una carrera internacional: como director invitado permanente en Dortmund y la Ópera de Berna, también dirigió la Stuttgarter Kammerorchester en una gira por España, la Orquesta de Cámara de Viena en una gira por Austria y actúa regularmente en Japón. y Estados Unidos.
Hizo su debut en la Ópera de París en el año 2002 con Rolf Liebermann 's Freispruch für Medea , en la Scala de Milán en 2004 ( El holandés errante ) y en el Festival de Glyndebourne en 2005.
En concierto, ha dirigido, entre otras cosas, la Orchestre de Paris , la Orchestre de la Suisse Romande , la Orchestre national du Capitole de Toulouse , la Orchestre National Bordeaux Aquitaine , la Nordwestdeutsche Philharmonie , la Tokyo Philharmonic Orchestra , la Tonhalle Orchestre Zürich , la Orquesta Sinfónica de la Radio de Baviera , la Orquesta Nacional de Países del Loira y también la Orquesta Filarmónica de Marsella.