En el análisis convexo , el teorema de Danskin es un teorema que proporciona información sobre las derivadas de una función de la forma
El teorema tiene aplicaciones en optimización , donde a veces se usa para resolver problemas minimax . El teorema original de JM Danskin, dado en su monografía de 1967 "The Theory of Max-Min and its Applications to Weapons Allocation Problems", Springer, NY, proporciona una fórmula para la derivada direccional del máximo de a (no necesariamente convexo) función direccionalmente diferenciable. Cuando se adapta al caso de una función convexa, esta fórmula produce el siguiente teorema dado en una forma algo más general como Proposición A.22 en el 1971 Ph.D. Tesis de DP Bertsekas, "Control de sistemas inciertos con una descripción de la incertidumbre de pertenencia a un conjunto". Se puede encontrar una prueba de la siguiente versión en el libro de 1999 "Programación no lineal" de Bertsekas (Sección B.5).
Declaración
El teorema se aplica a la siguiente situación. Suponeres una función continua de dos argumentos,
dónde es un conjunto compacto . Suponga además quees convexo en para cada .
En estas condiciones, el teorema de Danskin proporciona conclusiones sobre la convexidad y diferenciabilidad de la función
Para expresar estos resultados, definimos el conjunto de puntos maximizadores como
El teorema de Danskin proporciona los siguientes resultados.
- Convexidad
- es convexo .
- Derivadas direccionales
- La derivada direccional de en la dirección , denotado , es dado por
- dónde es la derivada direccional de la función a en la dirección .
- Derivado
- es diferenciable en Si consta de un solo elemento . En este caso, la derivada de (o el gradiente de Si es un vector) viene dado por
- Subdiferencial
- Si es diferenciable con respecto a para todos , y si es continuo con respecto a para todos , entonces el subdiferencial de es dado por
- dónde indica la operación del casco convexo .
- Extensión
El Ph.D. de 1971 La tesis de Bertsekas [1] (Proposición A.22) demuestra un resultado más general, que no requiere quees diferenciable. En cambio, asume que es una función convexa propia cerrada de valor real extendida para cada en el conjunto compacto , que , el interior del dominio efectivo de , no está vacío, y eso es continuo en el set . Entonces para todos en , el subdiferencial de a es dado por
dónde es el subdiferencial de a para cualquier en .
Ver también
Referencias
- Danskin, John M. (1967). La teoría de Max-Min y sus aplicaciones a problemas de asignación de armas . Nueva York: Springer.
- Bertsekas, Dimitri P. (1971). Control de sistemas inciertos con una descripción de incertidumbre de pertenencia al conjunto . Cambridge, MA: Tesis doctoral, MIT.
- Bertsekas, Dimitri P. (1999). Programación no lineal . Belmont, MA: Athena Scientific. págs. 737 . ISBN 1-886529-00-0.