Integral de Darboux

En el análisis real , una rama de las matemáticas , la integral de Darboux se construye utilizando sumas de Darboux y es una posible definición de la integral de una función . Las integrales de Darboux son equivalentes a las integrales de Riemann , lo que significa que una función es integrable en Darboux si y solo si es integrable en Riemann, y los valores de las dos integrales, si existen, son iguales. ^[1] La definición de la integral de Darboux tiene la ventaja de ser más fácil de aplicar en cálculos o demostraciones que la de la integral de Riemann. En consecuencia, los libros de texto introductorios sobre cálculoy el análisis real a menudo desarrolla la integración de Riemann utilizando la integral de Darboux, en lugar de la verdadera integral de Riemann. ^[2] Además, la definición se amplía fácilmente para definir la integración de Riemann-Stieltjes . ^[3] Las integrales de Darboux llevan el nombre de su inventor, Gaston Darboux .

La definición de la integral de Darboux considera integrales superior e inferior (Darboux) , que existen para cualquier función de valor real acotada en el intervalo . La integral de Darboux existe si y solo si las integrales superior e inferior son iguales. Las integrales superior e inferior son a su vez el mínimo y el supremo , respectivamente, de las sumas superior e inferior (Darboux) que sobreestiman y subestiman, respectivamente, el "área bajo la curva". En particular, para una partición dada del intervalo de integración, las sumas superior e inferior suman las áreas de cortes rectangulares cuyas alturas son el supremum y el infimum, respectivamente, de f${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle [a, b]}$en cada subintervalo de la partición. Estas ideas se detallan a continuación:

Una partición de un intervalo es una secuencia finita de valores x _i tal que${\ Displaystyle [a, b]}$

Cada intervalo [ x _{i −1} ,  x _i ] se denomina subintervalo de la partición. Sea f : [ a ,  b ] → R una función acotada, y sea

En alguna literatura, un símbolo integral con un subrayado y una línea superior representan las integrales de Darboux inferior y superior, respectivamente.

Si U _f  =  L _f , entonces llamamos al valor común integral de Darboux . ^[4] También decimos que f es Darboux-integrable o simplemente integrable y establece

Sumas de Darboux inferior (verde) y superior (verde más lavanda) para cuatro subintervalos

Sumas de Darboux

Darboux sumas inferiores de la función y = x ²

Al pasar a un refinamiento, la suma inferior aumenta y la suma superior disminuye.