En el análisis complejo , el teorema de De Branges , o la conjetura de Bieberbach , es un teorema que da una condición necesaria sobre una función holomorfa para que mapee el disco unitario abierto del plano complejo inyectivamente al plano complejo. Fue planteada por Ludwig Bieberbach ( 1916 ) y finalmente probada por Louis de Branges ( 1985 ).
La afirmación se refiere a los coeficientes de Taylor a n de una función univalente , es decir, una función holomorfa uno a uno que mapea el disco unitario en el plano complejo, normalizado como siempre es posible para que a 0 = 0 y a 1 = 1. Que es decir, consideramos una función definida en el disco unitario abierto que es holomorfa e inyectiva ( univalente ) con serie de Taylor de la forma
La función de Koebe (ver más abajo) es una función en la que a n = n para todo n , y es schlicht, por lo que no podemos encontrar un límite más estricto en el valor absoluto del n -ésimo coeficiente.
Esto siempre se puede obtener mediante una transformación afín : comenzando con una función holomorfa inyectiva arbitraria g definida en el disco unitario abierto y configurando
Una función de Schlicht se define como una función analítica f que es uno a uno y satisface f (0) = 0 y f '(0) = 1. Una familia de funciones de Schlicht son las funciones rotadas de Koebe
con α un número complejo de valor absoluto 1. Si f es una función schlicht y | un norte | = n para algún n ≥ 2, entonces f es una función de Koebe rotada.