En el análisis complejo , una rama de las matemáticas , el teorema de Koebe 1/4 establece lo siguiente:
Teorema del cuarto de Koebe. La imagen de una función analítica inyectiva f : D → C desde el disco unitario D en un subconjunto del plano complejo contiene el disco cuyo centro es f (0) y cuyo radio es | f ′ (0) | / 4.
El teorema lleva el nombre de Paul Koebe , quien conjeturó el resultado en 1907. El teorema fue probado por Ludwig Bieberbach en 1916. El ejemplo de la función de Koebe muestra que la constante 1/4 en el teorema no se puede mejorar (aumentar).
Un resultado relacionado es el lema de Schwarz , y una noción relacionada con ambos es el radio conforme .
Teorema del área de Grönwall
Suponer que
es univalente en | z | > 1. Entonces
De hecho, si r > 1, el complemento de la imagen del disco | z | > r es un dominio acotado X ( r ). Su área está dada por
Dado que el área es positiva, el resultado sigue dejando que r disminuya a 1. La demostración anterior muestra que la igualdad se cumple si y solo si el complemento de la imagen de g tiene un área cero, es decir, la medida de Lebesgue es cero.
Este resultado fue probado en 1914 por el matemático sueco Thomas Hakon Grönwall .
Función de Koebe
La función de Koebe está definida por
La aplicación del teorema a esta función muestra que la constante 1/4 en el teorema no se puede mejorar, ya que el dominio de imagen f ( D ) no contiene el punto z = −1/4 y, por lo tanto, no puede contener ningún disco centrado en 0 con radio mayor que 1/4.
La función Koebe rotada es
con α un número complejo de valor absoluto 1. La función de Koebe y sus rotaciones son schlicht : es decir, univalentes (analíticas y uno a uno ) y satisfacen f (0) = 0 y f ′ (0) = 1.
Desigualdad del coeficiente de Bieberbach para funciones univalentes
Dejar
ser univalente en | z | <1. Entonces
Esto se sigue aplicando el teorema del área de Gronwall a la función univalente impar
La igualdad es válida si y solo si g es una función de Koebe rotada.
Este resultado fue probado por Ludwig Bieberbach en 1916 y sentó las bases para su célebre conjetura de que | a n | ≤ n , probado en 1985 por Louis de Branges .
Prueba del teorema del cuarto
Aplicando un mapa afín, se puede suponer que
así que eso
Si w no está en f ( D ), entonces
es univalente en | z | <1.
Al aplicar el coeficiente de desigualdad af y h se obtiene
así que eso
Teorema de distorsión de Koebe
El teorema de la distorsión de Koebe da una serie de límites para una función univalente y su derivada. Es una consecuencia directa de la desigualdad de Bieberbach para el segundo coeficiente y el teorema del cuarto de Koebe. [1]
Sea f ( z ) una función univalente en | z | <1 normalizado de modo que f (0) = 0 y f ' (0) = 1 y sea r = | z |. Luego
con igualdad si y solo si f es una función de Koebe
Notas
- ^ Pommerenke 1975 , págs. 21-22
Referencias
- Bieberbach, Ludwig (1916), "Über die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen, welche eine schlichte Abbildung des Einheitskreises vermitteln", S.-B. Preuss. Akad. Wiss. : 940–955
- Carleson, L .; Gamelin, TDW (1993), Dinámica compleja , Universitext: Tracts in Mathematics, Springer-Verlag, págs. 1-2 , ISBN 0-387-97942-5
- Conway, John B. (1995), Funciones de una variable compleja II , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94460-9
- Duren, PL (1983), Funciones univalentes , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 259 , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90795-5
- Gronwall, TH (1914), "Algunas observaciones sobre la representación conforme", Annals of Mathematics , 16 : 72–76, doi : 10.2307 / 1968044
- Nehari, Zeev (1952), Mapeo conforme , Dover, págs. 248–249 , ISBN 0-486-61137-X
- Pommerenke, C. (1975), Funciones univalentes, con un capítulo sobre diferenciales cuadráticas de Gerd Jensen , Studia Mathematica / Mathematische Lehrbücher, 15 , Vandenhoeck & Ruprecht
- Rudin, Walter (1987). Análisis real y complejo . Serie en Matemáticas Superiores (3 ed.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-054234-1. Señor 0924157 .
enlaces externos
- Teorema de Koebe 1/4 en PlanetMath