En el análisis complejo , el teorema de De Branges , o la conjetura de Bieberbach , es un teorema que da una condición necesaria a una función holomórfica para que pueda mapear el disco unitario abierto del plano complejo de forma inyectiva al plano complejo. Fue planteado por Ludwig Bieberbach ( 1916 ) y finalmente probado por Louis de Branges ( 1985 ).
Las preocupaciones de los estados del Taylor coeficientes de un n de una función univalente , es decir, una función de uno-a-uno holomorphic que mapea el disco unidad en el plano complejo, normalizado como es siempre posible de modo que un 0 = 0 y un 1 = 1. Que es decir, consideramos una función definida en el disco unitario abierto que es holomórfica e inyectiva ( univalente ) con series de Taylor de la forma
La función de Koebe (ver más abajo) es una función en la que a n = n para todo n , y es schlicht, por lo que no podemos encontrar un límite más estricto en el valor absoluto del n- ésimo coeficiente.
Esto siempre se puede obtener mediante una transformación afín : comenzando con una función holomórfica inyectiva arbitraria g definida en el disco unitario abierto y configurando
Una función de Schlicht se define como una función analítica f que es uno a uno y satisface f (0) = 0 y f '(0) = 1. Una familia de funciones de Schlicht son las funciones de Koebe rotadas
con α un número complejo de valor absoluto 1. Si f es una función de Schlicht y | a n | = n para algunos n ≥ 2, entonces f es una función de Koebe rotada.