Número de decano

El número de Dean ( De ) es un grupo adimensional en mecánica de fluidos , que ocurre en el estudio del flujo en conductos y canales curvos . Lleva el nombre del científico británico WR Dean , quien fue el primero en proporcionar una solución teórica del movimiento del fluido a través de tuberías curvas para flujo laminar mediante el uso de un procedimiento de perturbación desde un flujo Poiseuille en una tubería recta hasta un flujo en una tubería con muy pequeña curvatura. ^{[1] [2]}

Contexto físico

Esquema de un par de vórtices de Dean que se forman en tubos curvos.

Si un fluido se mueve a lo largo de una tubería recta que después de algún punto se curva, las fuerzas centrípetas en la curva harán que las partículas del fluido cambien su dirección principal de movimiento. Habrá un gradiente de presión adverso generado por la curvatura con un aumento de presión, por lo tanto, una disminución de la velocidad cerca de la pared convexa, y lo contrario ocurrirá hacia el lado exterior de la tubería. Esto da lugar a un movimiento secundario superpuesto al flujo primario, con el fluido en el centro de la tubería siendo barrido hacia el lado exterior de la curva y el fluido cerca de la pared de la tubería regresará hacia el interior de la curva. Se espera que este movimiento secundario aparezca como un par de células que giran en sentido contrario, que se denominan vórtices de Dean .

Definición

El número de Dean generalmente se denota por De (o Dn ). Para un flujo en una tubería o tubo se define como:

${\displaystyle {\mathit {De}}={\frac {\sqrt {{\frac {1}{2}}\,({\text{inertial forces}})({\text{centripetal forces}})}}{\text{viscous forces}}}={\frac {\sqrt {{\frac {1}{2}}\,(\rho \,D^{2}\,R_{c}\,{\frac {v^{2}}{D}})(\rho \,D^{2}\,R_{c}\,{\frac {v^{2}}{R_{c}}})}}{\mu {\frac {v}{D}}D\,R_{c}}}={\frac {\rho \,D\,v}{\mu }}{\sqrt {\frac {D}{2\,R_{c}}}}={\textit {Re}}\,{\sqrt {\frac {D}{2\,R_{c}}}}}$

dónde

• ${\displaystyle \rho }$ es la densidad del fluido
• ${\displaystyle \mu }$es la viscosidad dinámica
• ${\displaystyle v}$ es la escala de velocidad axial
• ${\displaystyle D}$es el diámetro (para geometría no circular, se usa un diámetro equivalente; ver el número de Reynolds )
• ${\displaystyle R_{c}}$ es el radio de curvatura de la trayectoria del canal.
• ${\displaystyle {\textit {Re}}}$es el número de Reynolds .

Por lo tanto, el número de Dean es el producto del número de Reynolds (basado en el flujo axial a través de una tubería de diámetro ) y la raíz cuadrada de la relación de curvatura.${\displaystyle v}$${\displaystyle D}$

Transición de turbulencia

El flujo es completamente unidireccional para números de Dean bajos (De <40 ~ 60). A medida que el número de Dean aumenta entre 40 ~ 60 a 64 ~ 75, se pueden observar algunas perturbaciones onduladas en la sección transversal, lo que evidencia algún flujo secundario. A números de Dean más altos que eso (De> 64 ~ 75), el par de vórtices de Dean se vuelve estable, lo que indica una inestabilidad dinámica primaria. Aparece una inestabilidad secundaria para De> 75 ~ 200, donde los vórtices presentan ondulaciones, torsión y eventualmente fusión y división de pares. Formas de flujo completamente turbulento para De> 400. ^{[3] La} transición de flujo laminar a turbulento también se ha examinado en varios estudios, aunque no existe una solución universal ya que el parámetro depende en gran medida de la relación de curvatura. ^[4]De manera algo inesperada, el flujo laminar se puede mantener para números de Reynolds más grandes (incluso en un factor de dos para las relaciones de curvatura más altas estudiadas) que para tuberías rectas, aunque se sabe que la curvatura causa inestabilidad. ^[5]

Las ecuaciones de Dean

El número de Dean aparece en las denominadas ecuaciones de Dean . ^[6] Éstas son una aproximación a las ecuaciones completas de Navier-Stokes para el flujo uniforme axialmente constante de un fluido newtoniano en una tubería toroidal , obtenidas reteniendo sólo los efectos de curvatura de orden principal (es decir, las ecuaciones de orden principal para ).${\displaystyle a/r\ll 1}$

Usamos coordenadas ortogonales con los vectores unitarios correspondientes alineados con la línea central de la tubería en cada punto. La dirección axial es , siendo la normal en el plano de la línea central, y la binormal . Para un flujo axial impulsado por un gradiente de presión , la velocidad axial se escala con . Las velocidades de corriente transversal se escalan con y las presiones de corriente transversal con . Las longitudes se escalan con el radio del tubo .${\displaystyle (x,y,z)}$${\displaystyle ({\hat {\boldsymbol {x}}},{\hat {\boldsymbol {y}}},{\hat {\boldsymbol {z}}})}$${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {z}}}}$${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {x}}}}$${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {y}}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle u_{z}}$${\displaystyle U=Ga^{2}/\mu }$${\displaystyle u_{x},u_{y}}$${\displaystyle (a/R)^{1/2}U}$${\displaystyle \rho aU^{2}/L}$${\displaystyle a}$

En términos de estas variables y coordenadas adimensionales, las ecuaciones de Dean son entonces

${\displaystyle De\left({\frac {\mathrm {D} u_{x}}{\mathrm {D} t}}-u_{z}^{2}\right)=-De{\frac {\partial p}{\partial x}}+\nabla ^{2}u_{x}}$

${\displaystyle De{\frac {\mathrm {D} u_{y}}{\mathrm {D} t}}=-De{\frac {\partial p}{\partial y}}+\nabla ^{2}u_{y}}$

${\displaystyle De{\frac {\mathrm {D} u_{z}}{\mathrm {D} t}}=1+\nabla ^{2}u_{z}}$

${\displaystyle {\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}=0}$

dónde

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}=u_{x}{\frac {\partial }{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial }{\partial y}}}$

es la derivada convectiva .

El número de Dean De es el único parámetro que queda en el sistema y encapsula los efectos de curvatura de orden principal . Las aproximaciones de orden superior implicarán parámetros adicionales.

Para efectos de curvatura débiles ( De pequeño ), las ecuaciones de Dean se pueden resolver como una expansión en serie en De . La primera corrección del flujo de Poiseuille axial de orden principal es un par de vórtices en la sección transversal que lleva el flujo desde el interior hacia el exterior de la curva a través del centro y hacia atrás alrededor de los bordes. Esta solución es estable hasta un número de Dean crítico . ^[7] Para De mayor , existen múltiples soluciones, muchas de las cuales son inestables.${\displaystyle De_{c}\approx 956}$

Relación con el número de Nusselt

${\displaystyle Nu=0.76\cdot Re^{-0.23}\cdot De^{-0.114}}$

donde:

• Re es el número de Reynolds
• De es Dean Number
• Nu es el número de Nusselt

Referencias

1. Dean, WR (1927). "Nota sobre el movimiento del fluido en una tubería curva" . Phil. Mag . 4 (20): 208–223. doi : 10.1080 / 14786440708564324 .
2. Dean, WR (1928). "El movimiento aerodinámico de un fluido en una tubería curva" . Phil. Mag . Serie 7. 5 (30): 673–695. doi : 10.1080 / 14786440408564513 .
3. Ligrani, Phillip M. "Un estudio del desarrollo y la estructura de Dean Vortex en un canal rectangular curvo con una relación de aspecto de 40 en números de Dean hasta 430" , Laboratorio de investigación del ejército de EE. UU. (Informe del contratista ARL-CR-l44) y Centro de investigación Lewis (NASA Contractor Report 4607), julio de 1994. Recuperado el 11 de julio de 2017.
4. Kalpakli, Athanasia (2012). Estudio experimental de flujos turbulentos a través de curvas de tubería (Tesis). Estocolmo, Suecia: Real Instituto Tecnológico de Mecánica KTH. págs. 461–512.
5. Taylor, GI (1929). "El criterio de turbulencia en tuberías curvas" . Actas de la Royal Society of London A: Ciencias matemáticas, físicas y de ingeniería . 124 (794): 243–249. Código bibliográfico : 1929RSPSA.124..243T . doi : 10.1098 / rspa.1929.0111 .
6. Mestel, J. Flujo en tuberías curvas: Las ecuaciones de Dean , Folleto de conferencias para el curso M4A33 , Imperial College.
7. Dennis, CR; Ng, M. (1982). "Soluciones duales para flujo laminar estable a través de un tubo curvo". QJ Mech. Apl. Matemáticas . 35 (3): 305. doi : 10.1093 / qjmam / 35.3.305 .

• Berger, SA; Talbot, L .; Yao, LS (1983). "Flujo en Tuberías Curvas". Annu. Rev. Fluid Mech . 15 : 461–512. Código bibliográfico : 1983AnRFM..15..461B . doi : 10.1146 / annurev.fl.15.010183.002333 .