Un descomino , o 10-omino , es un poliomino de orden 10, es decir, un polígono en el plano formado por 10 cuadrados de igual tamaño conectados de borde a borde. [1] Cuando las rotaciones y reflexiones no se consideran formas distintas, hay 4.655 descominos libres diferentes (los descominos libres comprenden 195 con agujeros y 4.460 sin agujeros). Cuando las reflexiones se consideran distintas, hay 9.189 descominoes unilaterales . Cuando las rotaciones también se consideran distintas, hay 36 446 descominoes fijos . [2]
Simetría
Los 4.655 descominoes libres se pueden clasificar según sus grupos de simetría : [2]
- 4.461 descominoos no tienen simetría . Su grupo de simetría consiste solo en el mapeo de identidad .
- 90 descominoes tienen un eje de simetría de reflexión alineado con las líneas de la cuadrícula. Su grupo de simetría tiene dos elementos, la identidad y el reflejo en una línea paralela a los lados de los cuadrados.
- 22 descominos tienen un eje de simetría de reflexión a 45 ° de las líneas de la cuadrícula. Su grupo de simetría tiene dos elementos, la identidad y un reflejo diagonal.
- 73 descominoes tienen simetría puntual, también conocida como simetría rotacional de orden 2. Su grupo de simetría tiene dos elementos, la identidad y la rotación de 180 °.
- 8 descominoes tienen dos ejes de simetría de reflexión, ambos alineados con las líneas de la cuadrícula. Su grupo de simetría tiene cuatro elementos, la identidad, dos reflejos y la rotación de 180 °. Es el grupo diedro de orden 2, también conocido como el grupo de cuatro Klein .
- 1 descomino tiene dos ejes de simetría de reflexión, ambos alineados con las diagonales. Su grupo de simetría es también el grupo diedro de orden 2 con cuatro elementos.
A diferencia de los octominós y noominós , ningún descomino tiene simetría rotacional de orden 4.
Embalaje y alicatado
195 descominos tienen agujeros. Esto hace que sea trivial demostrar que el conjunto completo de descominoes no se puede empaquetar en un rectángulo, y que no todos los descominoes se pueden colocar en mosaico .
Los 4.460 descominos sin agujeros comprenden 44.600 cuadrados unitarios. Por lo tanto, el cuadrado más grande que se puede colocar en mosaico con distintos descominos es como máximo 210 unidades por lado (210 al cuadrado es 44,100). Livio Zucca construyó un cuadrado de este tipo que contiene 4.410 descominos. [3]
Referencias
- ^ Golomb, Solomon W. (1994). Polyominoes (2ª ed.). Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press. ISBN 0-691-02444-8.
- ^ a b Redelmeier, D. Hugh (1981). "Contando poliominós: otro ataque". Matemáticas discretas . 36 (2): 191-203. doi : 10.1016 / 0012-365X (81) 90237-5 .
- ^ Iread.it: Cuadrados máximos de poliominós