Un nonomino (o enneomino o 9-omino ) es un poliomino de orden 9, es decir, un polígono en el plano formado por 9 cuadrados de igual tamaño conectados de borde a borde. [1] El nombre de este tipo de figura se forma con el prefijo non (a) - . Cuando las rotaciones y reflexiones no se consideran formas distintas, hay 1285 nonominós libres diferentes . Cuando las reflexiones se consideran distintas, hay 2.500 nonominoes unilaterales . Cuando las rotaciones también se consideran distintas, hay 9,910 fijosnonominoes. [2]
Simetría
Los 1.285 nonominós libres se pueden clasificar según sus grupos de simetría : [2]
- 1,196 nonominoes no tienen simetría . Su grupo de simetría consiste solo en el mapeo de identidad .
- 38 nonominoes tienen un eje de simetría de reflexión alineado con las líneas de la cuadrícula. Su grupo de simetría tiene dos elementos, la identidad y el reflejo en una línea paralela a los lados de los cuadrados.
- 26 nonominoes tienen un eje de simetría de reflexión a 45 ° de las líneas de la cuadrícula. Su grupo de simetría tiene dos elementos, la identidad y un reflejo diagonal.
- 19 nonominoes tienen simetría puntual, también conocida como simetría rotacional de orden 2. Su grupo de simetría tiene dos elementos, la identidad y la rotación de 180 °.
- 4 nonominoes tienen dos ejes de simetría de reflexión, ambos alineados con las líneas de la cuadrícula. Su grupo de simetría tiene cuatro elementos, la identidad, dos reflejos y la rotación de 180 °. Es el grupo diedro de orden 2, también conocido como el grupo de cuatro Klein .
- 2 nonominoes tienen cuatro ejes de simetría de reflexión, alineados con las líneas de la cuadrícula y las diagonales, y simetría rotacional de orden 4. Su grupo de simetría, el grupo diedro de orden 4, tiene ocho elementos.
A diferencia de los octominós , no hay nonominós con simetría rotacional de orden 4 o con dos ejes de simetría de reflexión alineados con las diagonales.
Si los reflejos de un nonomino se consideran distintos, como lo son con los nonominoes unilaterales, entonces la primera y cuarta categorías por encima del doble de tamaño, resultando en 1.215 nonominoes adicionales para un total de 2.500. Si las rotaciones también se consideran distintas, entonces los nonominoes de la primera categoría cuentan ocho veces, los de las siguientes tres categorías cuentan cuatro veces, los de la quinta categoría cuentan dos veces y los de la última categoría cuentan solo una vez. Esto da como resultado 1,196 × 8 + (38 + 26 + 19) × 4 + 4 × 2 + 2 = 9,910 nonominoes fijos.
Embalaje y alicatado
37 nonominoes tienen agujeros. [3] [4] Por lo tanto, un conjunto completo no se puede empaquetar en un rectángulo y no todos los nonominoes tienen mosaicos . De los 1285 nonominoes libres, 960 satisfacen el criterio de Conway y 88 más pueden formar un parche que satisfaga el criterio. Sin embargo, 1050 (no 1048) nonominoes libres admiten teselaciones, [5] las dos excepciones que se muestran a la derecha. Este es el orden más bajo de poliomino para el que existen tales excepciones. [6]
Un nonomino tiene un agujero de dos cuadrados (el segundo más a la derecha en la fila superior) y es el poliomino más pequeño con tal agujero.
Referencias
- ^ Golomb, Solomon W. (1994). Polyominoes (2ª ed.). Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press. ISBN 0-691-02444-8.
- ^ a b Redelmeier, D. Hugh (1981). "Contando poliominós: otro ataque". Matemáticas discretas . 36 : 191-203. doi : 10.1016 / 0012-365X (81) 90237-5 .
- ^ Weisstein, Eric W. "Polyomino" . MathWorld .
- ^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A001419 (Número de poliominós de n celdas con agujeros)" . La enciclopedia en línea de secuencias de enteros . Fundación OEIS.
- ^ Rawsthorne, Daniel A. (1988). "Complejidad de mosaico de pequeños n -ominós ( n <10)". Matemáticas discretas . 70 : 71–75. doi : 10.1016 / 0012-365X (88) 90081-7 .
- ^ Rhoads, Glenn C. (2005). "Azulejos planos por polyominoes, polyhexes y polyiamonds" . Revista de Matemática Computacional y Aplicada . 174 (2): 329–353. doi : 10.1016 / j.cam.2004.05.002 .