Propiedad de límite mínimo superior

Cada subconjunto no vacío de los números reales que está acotado desde arriba tiene un límite superior mínimo.${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

En matemáticas , la propiedad menos-superior-bound (a veces llamado integridad o propiedad supremo o propiedad lub ) ^[1] es una propiedad fundamental de los números reales . Más en general, un conjunto parcialmente ordenado X tiene la propiedad menos-superior-bound si cada no vacío subconjunto de X con un límite superior tiene un menos límite superior (extremo superior) en X . No todos los conjuntos (parcialmente) ordenados tienen la propiedad de límite superior mínimo. Por ejemplo, el conjunto de todos los números racionales${\displaystyle \mathbb {Q} }$con su orden natural no tiene la propiedad de límite superior mínimo.

La propiedad del límite superior mínimo es una forma del axioma de completitud para los números reales, y a veces se la denomina completitud de Dedekind . ^[2] Se puede utilizar para demostrar muchos de los resultados fundamentales de análisis real , tales como el teorema del valor intermedio , el teorema de Bolzano-Weierstrass , el teorema de valor extremo , y el teorema de Heine-Borel . Por lo general, se toma como un axioma en las construcciones sintéticas de los números reales (ver axioma del límite superior mínimo ), y también está íntimamente relacionado con la construcción de los números reales usando cortes de Dedekind .

En la teoría de órdenes , esta propiedad se puede generalizar a una noción de completitud para cualquier conjunto parcialmente ordenado . Un conjunto ordenado linealmente que es denso y tiene la propiedad de límite superior mínimo se llama un continuo lineal .

Declaración de la propiedad

Declaración de números reales

Sea S un conjunto no vacío de números reales .

• Un número real x se denomina un límite superior para S si x ≥ s para todos s ∈ S .
• Un número real x es el extremo superior (o extremo superior ) para S si x es un límite superior para S y x ≤ y para cada límite superior y de S .

La propiedad de límite superior mínimo establece que cualquier conjunto no vacío de números reales que tenga un límite superior debe tener un límite superior mínimo en números reales .

Generalización a conjuntos ordenados

Rojo: el conjunto . Azul: el conjunto de sus límites superiores en .${\displaystyle \left\{x\in \mathbf {Q} :x^{2}\leq 2\right\}}$${\displaystyle \mathbf {Q} }$

Artículo principal: Integridad (teoría del orden)

De manera más general, se puede definir el límite superior y el límite superior mínimo para cualquier subconjunto de un conjunto X parcialmente ordenado , con "número real" reemplazado por "elemento de X ". En este caso, decimos que X tiene la propiedad de menos del límite superior si cada subconjunto no vacío de X con un límite superior tiene un extremo superior en X .

Por ejemplo, el conjunto Q de números racionales no tiene la propiedad de límite superior mínimo en el orden habitual. Por ejemplo, el conjunto

${\displaystyle \left\{x\in \mathbf {Q} :x^{2}\leq 2\right\}=\mathbf {Q} \cap \left(-{\sqrt {2}},{\sqrt {2}}\right)}$

tiene un límite superior en Q , pero no tiene un límite superior mínimo en Q (ya que la raíz cuadrada de dos es irracional ). La construcción de los números reales usando cortes de Dedekind se aprovecha de esta falla al definir los números irracionales como los límites superiores mínimos de ciertos subconjuntos de los racionales.

Prueba

Estado lógico

La propiedad del límite superior mínimo es equivalente a otras formas del axioma de completitud , como la convergencia de secuencias de Cauchy o el teorema de intervalos anidados . El estado lógico de la propiedad depende de la construcción de los números reales usados: en el enfoque sintético , la propiedad generalmente se toma como un axioma para los números reales (ver axioma de límite superior mínimo ); en un enfoque constructivo, la propiedad debe demostrarse como un teorema , ya sea directamente de la construcción o como consecuencia de alguna otra forma de completitud.

Prueba usando secuencias de Cauchy

Es posible probar la propiedad del límite superior mínimo utilizando el supuesto de que todas las secuencias de Cauchy de números reales convergen. Sea S un conjunto no vacío de números reales. Si S tiene exactamente un elemento, entonces su único elemento es un límite superior mínimo. Por tanto, considere S con más de un elemento y suponga que S tiene un límite superior B ₁ . Desde S es no vacío y tiene más de un elemento, existe un número real A ₁ que no es un límite superior para S . Definir secuencias A ₁ , A ₂ , A ₃, ... y B ₁ , B ₂ , B ₃ , ... recursivamente como sigue:

1. Compruebe si ( A _n + B _n ) / 2 es un límite superior para S .
2. Si es así, sea A _{n +1} = A _n y sea B _{n +1} = ( A _n + B _n ) ⁄ 2 .
3. De lo contrario, debe haber un elemento s en S de modo que s > ( A _n + B _n ) ⁄ 2 . Sea A _{n +1} = sy sea B _{n +1} = B _n .

Entonces A ₁ ≤ A ₂ ≤ A ₃ ≤ ⋯ ≤ B ₃ ≤ B ₂ ≤ B ₁ y | A _n - B _n | → 0 cuando n → ∞ . De ello se desprende que ambas secuencias son Cauchy y tienen el mismo límite L , que debe ser el menor límite superior para S .

Aplicaciones

La propiedad del límite superior mínimo de R se puede utilizar para probar muchos de los principales teoremas fundamentales en el análisis real .

Teorema del valor intermedio

Deje f  : [ a , b ] → R sea una función continua , y supongamos que f  ( a ) <0 y f  ( b )> 0 . En este caso, el teorema del valor intermedio establece que f debe tener una raíz en el intervalo [ a , b ] . Este teorema se puede demostrar considerando el conjunto

S  = { s ∈ [ a , b ]:  f  ( x ) <0 para todo x ≤ s } .

Es decir, S es el segmento inicial de [ a , b ] que toma valores negativos bajo f . Entonces b es un límite superior para S , y el límite superior mínimo debe ser una raíz de f .

Teorema de Bolzano-Weierstrass

El teorema de Bolzano-Weierstrass para R establece que toda secuencia x _n de números reales en un intervalo cerrado [ a , b ] debe tener una subsecuencia convergente . Este teorema se puede demostrar considerando el conjunto

S  = { s ∈ [ a , b ]:  s ≤ x _n para infinitos n } .

Claramente, b es un límite superior para S , por lo que S tiene un límite superior mínimo c . Entonces c debe ser un punto límite de la secuencia x _n , y se deduce que x _n tiene una subsecuencia que converge en c .

Teorema del valor extremo

Sea f  : [ a , b ] → R una función continua y sea M = sup f  ([ a , b ]) , donde M = ∞ si f  ([ a , b ]) no tiene límite superior. El teorema del valor extremo establece que M es finito y f  ( c ) = M para algún c ∈ [ a , b ] . Esto se puede probar considerando el conjunto

S  = { s ∈ [ a , b ]: sup f  ([ s , b ]) = M } .

Si c es el extremo superior de este conjunto, entonces se deduce a partir de continuidad que f  ( c ) = M .

Teorema de Heine-Borel

Sea [ a , b ] un intervalo cerrado en R , y sea { U _α } una colección de conjuntos abiertos que cubre [ a , b ] . Entonces, el teorema de Heine-Borel establece que alguna subcolección finita de { U _α } también cubre [ a , b ] . Esta afirmación puede probarse considerando el conjunto

S  = { s ∈ [ a , b ]: [ a , s ] puede estar cubierto por un número finito de U _α } .

Este conjunto debe tener un límite superior mínimo c . Pero c es en sí mismo un elemento de algún conjunto abierto U _α , y se deduce que [ a , c + δ ] puede ser cubierto por un número finito de U _α para algún δ > 0 suficientemente pequeño . Esto prueba que c + δ ∈ S , y también produce una contradicción a menos que c = b .

Historia

La importancia de la propiedad del límite mínimo superior fue reconocida por primera vez por Bernard Bolzano en su artículo de 1817 Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes dass zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetztes Resultat gewäahren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege . ^[3]

Ver también

• Lista de temas de análisis reales

Notas

1. Bartle y Sherbert (2011) definen la "propiedad de completitud" y dicen que también se denomina "propiedad suprema". (pág.39)
2. Willard dice que un espacio ordenado "X es Dedekind completo si cada subconjunto de X que tiene un límite superior tiene un límite superior mínimo". (págs. 124-5, problema 17E.)
3. Raman-Sundström, Manya (agosto-septiembre de 2015). "Una historia pedagógica de la compacidad". American Mathematical Monthly . 122 (7): 619–635. arXiv : 1006.4131 . doi : 10.4169 / amer.math.monthly.122.7.619 . JSTOR  10.4169 / amer.math.monthly.122.7.619 . S2CID  119936587 .

Referencias

• Abbott, Stephen (2001). Comprensión del análisis . Textos de Licenciatura en Matemáticas. Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-95060-5.
• Aliprantis, Charalambos D ; Burkinshaw, Owen (1998). Principios del análisis real (Tercera ed.). Académico. ISBN 0-12-050257-7.

• Bartle, Robert G .; Sherbert, Donald R. (2011). Introducción al análisis real (4 ed.). Nueva York: John Wiley and Sons. ISBN 978-0-471-43331-6.
• Bressoud, David (2007). Un enfoque radical del análisis real . MAA. ISBN 978-0-88385-747-2.
• Browder, Andrew (1996). Análisis matemático: una introducción . Textos de Licenciatura en Matemáticas . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94614-4.
• Dangello, Frank; Seyfried, Michael (1999). Introducción al análisis real . Brooks Cole. ISBN 978-0-395-95933-6.
• Rudin, Walter (1976). Principios del análisis matemático . Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics (3 ed.). McGraw – Hill. ISBN 978-0-07-054235-8.
• Willard, Stephen (2004) [1970]. Topología general . Mineola, NY: Publicaciones de Dover. ISBN 9780486434797.