En el campo matemático de la teoría del orden , un continuo o continuo lineal es una generalización de la línea real .
Formalmente, un continuo lineal es un conjunto S linealmente ordenado de más de un elemento que está densamente ordenado , es decir, entre dos elementos distintos hay otro (y, por lo tanto, infinitos otros), y completo , es decir, que "carece de espacios" en el sentido de que cada subconjunto no vacío con un límite superior tiene un límite superior mínimo . Más simbólicamente:
- S tiene la propiedad de límite superior mínimo , y
- Para cada x en S y cada y en S con x < y , existe z en S tal que x < z < y
Un conjunto tiene la propiedad de límite superior mínimo, si cada subconjunto no vacío del conjunto que está delimitado por encima tiene un límite superior mínimo. Los continuos lineales son particularmente importantes en el campo de la topología, donde se pueden usar para verificar si un conjunto ordenado dada la topología de orden está conectado o no. [1]
A diferencia de la línea real estándar, un continuo lineal puede estar acotado en cualquier lado: por ejemplo, cualquier intervalo cerrado (real) es un continuo lineal.
Ejemplos de
- El conjunto ordenado de números reales , R , con su orden habitual es un continuo lineal, y es el ejemplo arquetípico. La propiedad b) es trivial y la propiedad a) es simplemente una reformulación del axioma de completitud .
Ejemplos además de los números reales:
- conjuntos que son orden-isomorfos al conjunto de números reales, por ejemplo, un intervalo abierto real , y lo mismo con espacios semiabiertos (tenga en cuenta que estos no son espacios en el sentido mencionado anteriormente)
- el sistema de números reales afinamente extendido y conjuntos de orden-isomorfos, por ejemplo, el intervalo unitario
- el conjunto de números reales con solo + ∞ o solo −∞ agregado, y conjuntos de orden isomórfico, por ejemplo, un intervalo semiabierto
- la larga cola
- El conjunto I × I (donde × denota el producto cartesiano e I = [0, 1]) en el orden lexicográfico es un continuo lineal. La propiedad b) es trivial. Para verificar la propiedad a), definimos un mapa, π 1 : I × I → I por
- π 1 ( x , y ) = x
- Este mapa se conoce como mapa de proyección . El mapa de proyección es continuo (con respecto a la topología del producto en I × I ) y es sobreyectivo . Sea A un subconjunto no vacío de I × I que está acotado arriba. Considere π 1 ( A ). Dado que A está acotado arriba, π 1 ( A ) también debe estar acotado arriba. Dado que, π 1 ( A ) es un subconjunto de I , debe tener un límite superior mínimo (ya que I tiene la propiedad de límite superior mínimo). Por lo tanto, podemos dejar que b sea el mínimo límite superior de π 1 ( A ). Si b pertenece a ¸ 1 ( A ), entonces b × I se cruzará A en decir b × c para algunos c ∈ I . Tenga en cuenta que desde b × I tiene el mismo tipo de orden de I , el conjunto ( b × I ) ∩ A será de hecho tener un extremo superior b × c' , que es la deseada menos límite superior para A .
- Si b no pertenece a π 1 ( A ), entonces b × 0 es el mínimo límite superior de A , porque si d < b , y d × e es un límite superior de A , entonces d sería un límite superior más pequeño de π 1 ( A ) que b , lo que contradice la propiedad única de b .
No ejemplos
- El conjunto ordenado Q de números racionales no es un continuo lineal. Aunque la propiedad b) se satisface, la propiedad a) no. Considere el subconjunto
- A = { x ∈ Q | x < √ 2 }
- del conjunto de números racionales. Aunque este conjunto está acotado arriba por cualquier número racional mayor que √ 2 (por ejemplo 3), no tiene límite superior mínimo en los números racionales. [2] (Específicamente, para cualquier límite superior racional r > √ 2 , r / 2 + 1 / r es un límite superior racional más cercano; detalles en Métodos de cálculo de raíces cuadradas § Método babilónico ).
- El conjunto ordenado de enteros no negativos con su orden habitual no es un continuo lineal. La propiedad a) se satisface (sea A un subconjunto del conjunto de enteros no negativos que está acotado arriba. Entonces A es finito por lo que tiene un máximo, y este máximo es el límite superior mínimo deseado de A ). Por otro lado, la propiedad b) no lo es. De hecho, 5 es un número entero no negativo y también lo es 6, pero no existe ningún número entero no negativo que se encuentre estrictamente entre ellos.
- El conjunto ordenado A de números reales distintos de cero
- A = (−∞, 0) ∪ (0, + ∞)
- no es un continuo lineal. La propiedad b) se satisface trivialmente. Sin embargo, si B es el conjunto de números reales negativos:
- B = (−∞, 0)
- entonces B es un subconjunto de A que está delimitada por encima (por cualquier elemento de A mayor que 0; por ejemplo 1), pero se ha unido no menos superior en B . Tenga en cuenta que 0 no es una cota para B desde 0 no es un elemento de A .
- Sea Z - el conjunto de enteros negativos y sea A = (0, 5) ∪ (5, + ∞). Dejar
- S = Z - ∪ A .
- Entonces S no satisface la propiedad a) ni la propiedad b). La prueba es similar a los ejemplos anteriores.
Propiedades topologicas
Aunque los continuos lineales son importantes en el estudio de conjuntos ordenados , tienen aplicaciones en el campo matemático de la topología . De hecho, demostraremos que un conjunto ordenado en la topología de orden está conectado si y solo si es un continuo lineal. Demostraremos una implicación y dejaremos la otra como ejercicio. (Munkres explica la segunda parte de la prueba en [3] )
Teorema
Sea X un conjunto ordenado en la topología de orden. Si X está conectado, entonces X es un continuo lineal.
Prueba:
Supongamos que x y y son elementos de X con x < y . Si no existe z en X tal que x < z < y , considere los conjuntos:
- A = (−∞, y )
- B = ( x , + ∞)
Estos conjuntos son disjuntos (Si un está en A , un < y de manera que si una es en B , una > x y un < y que es imposible por hipótesis), no vacío ( x está en A y Y está en B ) y abierto (en la topología del orden), y su unión es X . Esto contradice la conexión de X .
Ahora demostramos la propiedad del límite superior mínimo. Si C es un subconjunto de X que está limitada por encima y no menos ha límite superior, dejar que D sea la unión de todos los rayos abiertos de la forma ( b , + ∞) donde b es un límite superior para C . Entonces D es abierto (ya que es la unión de conjuntos abiertos) y cerrado (si a no está en D , entonces a < b para todos los límites superiores b de C de modo que podemos elegir q > a tal que q esté en C (si no existe tal q , a es el límite superior mínimo de C ), entonces se puede elegir un intervalo abierto que contenga a que no cruce D ). Dado que D no está vacío (hay más de un límite superior de D porque si hubiera exactamente un límite superior s , s sería el límite superior mínimo. Entonces, si b 1 y b 2 son dos límites superiores de D con b 1 < b 2 , b 2 pertenecerá a D ), D y su complemento juntos forman un separación en X . Esto contradice la conexión de X .
Aplicaciones del teorema
- Dado que el conjunto ordenado A = (−∞, 0) U (0, + ∞) no es un continuo lineal, está desconectado.
- Al aplicar el teorema que se acaba de demostrar, se sigue el hecho de que R está conectado. De hecho, cualquier intervalo (o rayo) en R también está conectado.
- El conjunto de números enteros no es un continuo lineal y, por lo tanto, no se puede conectar.
- De hecho, si un conjunto ordenado en la topología de orden es un continuo lineal, debe estar conectado. Dado que cualquier intervalo en este conjunto es también un continuo lineal, se deduce que este espacio está conectado localmente, ya que tiene una base que consiste enteramente en conjuntos conectados.
- Para ver un ejemplo de un espacio topológico que es un continuo lineal, consulte la línea larga .
Ver también
- El axioma de Cantor-Dedekind
- Topología de pedidos
- Propiedad de límite superior mínimo
- Orden total
Referencias
- ^ Munkres, James (2000). Topología, 2ª ed . Educación de Pearson . págs. 31, 153. ISBN 0-13-181629-2.
- ^ Hardy, GH (1952). Un curso de matemáticas puras, 10ª ed . Prensa de la Universidad de Cambridge . págs. 11-15, 24-31. ISBN 0-521-09227-2.
- ^ Munkres, James (2000). Topología, 2ª ed . Educación Pearson. págs. 153-154. ISBN 0-13-181629-2.