Degeneración (matemáticas)

Este artículo trata sobre la degeneración en matemáticas. Para conocer la degeneración de un gráfico , consulte degeneración (teoría de gráficos) . Para otros usos, consulte Degeneración (desambiguación) .

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En matemáticas , un caso degenerado es un caso límite de una clase de objetos que parece ser cualitativamente diferente (y generalmente más simple) del resto de la clase, ^{[1] [2]} y el término degeneración es la condición de ser un caso degenerado. ^[3]

Las definiciones de muchas clases de objetos compuestos o estructurados a menudo incluyen implícitamente desigualdades. Por ejemplo, se supone que los ángulos y las longitudes de los lados de un triángulo son positivos. Los casos límite, donde una o varias de estas desigualdades se convierten en igualdades, son las degeneraciones. En el caso de los triángulos, uno tiene un triángulo degenerado si al menos una longitud de lado o ángulo es cero (equiv., Se convierte en un "segmento de línea" ^[4] ).

A menudo, los casos degenerados son los casos excepcionales en los que se producen cambios en la dimensión habitual o en la cardinalidad del objeto (o de alguna parte de él). Por ejemplo, un triángulo es un objeto de dimensión dos, y un triángulo degenerado está contenido en una línea , ^{[4] lo} que hace que su dimensión sea uno. Esto es similar al caso de un círculo, cuya dimensión se reduce de dos a cero a medida que degenera en un punto. ^[2] Como otro ejemplo, el conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones que depende de parámetrosgeneralmente tiene una cardinalidad y dimensión fijas, pero la cardinalidad y / o dimensión pueden ser diferentes para algunos valores excepcionales, llamados casos degenerados. En tal caso degenerado, se dice que el conjunto de soluciones está degenerado.

Para algunas clases de objetos compuestos, los casos degenerados dependen de las propiedades que se estudian específicamente. En particular, la clase de objetos a menudo se puede definir o caracterizar por sistemas de ecuaciones. En la mayoría de los escenarios, una clase dada de objetos puede ser definida por varios sistemas diferentes de ecuaciones, y estos diferentes sistemas de ecuaciones pueden conducir a diferentes casos degenerados, mientras caracterizan los mismos casos no degenerados. Esta puede ser la razón por la cual no existe una definición general de degeneración, a pesar de que el concepto es ampliamente utilizado y definido (si es necesario) en cada situación específica.

Por tanto, un caso degenerado tiene características especiales que lo hacen no genérico . Sin embargo, no todos los casos no genéricos son degenerados. Por ejemplo, los triángulos rectángulos , los triángulos isósceles y los triángulos equiláteros no son genéricos ni degenerados. De hecho, los casos degenerados suelen corresponder a singularidades , ya sea en el objeto o en algún espacio de configuración . Por ejemplo, una sección cónica está degenerada si y solo si tiene puntos singulares (p. Ej., Punto, línea, líneas que se cruzan ^[5] ).

En geometría

Sección cónica

Artículo principal: cónica degenerada

Una cónica degenerada es una sección cónica (una curva plana de segundo grado , definida por una ecuación polinomial de grado dos) que no es una curva irreducible .

• Un punto es un círculo degenerado , es decir, uno con radio 0. ^[2]
• La recta es un caso degenerado de una parábola si la parábola reside en un plano tangente . En geometría inversa , una línea es un caso degenerado de un círculo , con radio infinito.
• Dos líneas paralelas también forman una parábola degenerada.
• Un segmento de línea puede verse como un caso degenerado de una elipse en la que el eje semiminor va a cero, los focos van a los puntos finales y la excentricidad va a uno.
• Se puede pensar en un círculo como una elipse degenerada, ya que la excentricidad se acerca a 0. ^[2]
• Una elipse también puede degenerar en un solo punto.
• Una hipérbola puede degenerar en dos líneas que se cruzan en un punto, ^{[1] a} través de una familia de hipérbolas que tienen esas líneas como asíntotas comunes .

Triángulo

Los tres tipos de triángulos degenerados, todos los cuales contienen área cero.

• Un triángulo degenerado tiene vértices colineales ^[4] y área cero, por lo que coincide con un segmento cubierto dos veces (si los tres vértices no son todos iguales; de lo contrario, el triángulo degenera en un solo punto). Si los tres vértices son distintos por pares, tiene dos ángulos de 0 ° y un ángulo de 180 °. Si dos vértices son iguales, tiene un ángulo de 0 ° y dos ángulos indefinidos.

Rectángulo

• Un segmento de línea es un caso degenerado de un rectángulo que tiene un lado de longitud 0.
• Para cualquier subconjunto no vacío , hay un rectángulo degenerado alineado con el eje delimitado${\displaystyle S\subseteq \{1,2,\ldots ,n\}}$

  ${\displaystyle R\triangleq \left\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}:x_{i}=c_{i}\ ({\text{for }}i\in S){\text{ and }}a_{i}\leq x_{i}\leq b_{i}\ ({\text{for }}i\notin S)\right\}}$

  donde y a _i , b _i , c _i son constantes (con a _i ≤ b _i para todo i ). El número de lados degenerados de R es el número de elementos del subconjunto S . Por lo tanto, puede haber tan solo un "lado" degenerado o tantos como n (en cuyo caso R se reduce a un punto único).${\displaystyle \mathbf {x} \triangleq \left[x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right]}$

Polígono convexo

• Un polígono convexo está degenerado si al menos dos lados consecutivos coinciden al menos parcialmente, o al menos un lado tiene una longitud cero, o al menos un ángulo es de 180 °. Por tanto, un polígono convexo degenerado de n lados parece un polígono con menos lados. En el caso de los triángulos, esta definición coincide con la que se ha dado anteriormente.

Poliedro convexo

• Un poliedro convexo está degenerado si dos facetas adyacentes son coplanares o dos aristas están alineadas. En el caso de un tetraedro , esto equivale a decir que todos sus vértices se encuentran en el mismo plano , lo que le da un volumen de cero.

Toro estándar

• En contextos donde se permite la auto-intersección, una esfera es un toro estándar degenerado donde el eje de revolución pasa por el centro del círculo generador, en lugar de fuera de él.

Esfera

• Cuando el radio de una esfera llega a cero, la esfera degenerada resultante de volumen cero es un punto .

Otro

• Consulte la posición general para ver otros ejemplos.

En otra parte

• Un conjunto que contiene un solo punto es un continuo degenerado .
• Objetos como digon y monogon pueden verse como casos degenerados de polígonos : válidos en un sentido matemático abstracto general, pero no forman parte de la concepción euclidiana original de polígonos.
• Una variable aleatoria que solo puede tomar un valor tiene una distribución degenerada ; si ese valor es el número real 0, entonces su densidad de probabilidad es la función delta de Dirac .
• Roots de un polinomio se dice que son degenerados si coinciden, ya genéricamente las n raíces de un n º polinomio grado son todos distintos. ^[2] Este uso se traslada a problemas propios: un valor propio degenerado (es decir, una raíz coincidente múltiple del polinomio característico ) es uno que tiene más de un vector propio linealmente independiente .
• En mecánica cuántica , tal multiplicidad en los valores propios del operador hamiltoniano da lugar a niveles de energía degenerados . Por lo general, tal degeneración indica alguna simetría subyacente en el sistema.

Ver también

• Degeneración (teoría de grafos)
• Forma degenerada
• Trivial (matemáticas)
• Patológico (matemáticas)
• Verdad vacía

Referencias

1. "El glosario definitivo de jerga matemática superior - caso degenerado" . Bóveda de matemáticas . 2019-08-01 . Consultado el 29 de noviembre de 2019 .
2. Weisstein, Eric W. "Degenerado" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 29 de noviembre de 2019 .
3. "Definición de DEGENERACIA" . www.merriam-webster.com . Consultado el 29 de noviembre de 2019 .
4. "Mathwords: Degenerate" . www.mathwords.com . Consultado el 29 de noviembre de 2019 .
5. "Mathwords: secciones cónicas degeneradas" . www.mathwords.com . Consultado el 29 de noviembre de 2019 .