Grado de coherencia

Medición en óptica cuántica

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En óptica cuántica , las funciones de correlación se utilizan para caracterizar las propiedades estadísticas y de coherencia de un campo electromagnético. El grado de coherencia es la correlación normalizada de campos eléctricos; en su forma más simple, denominada . Es útil para cuantificar la coherencia entre dos campos eléctricos, medida en un interferómetro óptico lineal de Michelson u otro . La correlación entre pares de campos,${\displaystyle g^{(1)}}$${\displaystyle g^{(2)}}$, normalmente se utiliza para encontrar el carácter estadístico de las fluctuaciones de intensidad. La correlación de primer orden es en realidad la correlación de amplitud-amplitud y la correlación de segundo orden es la correlación de intensidad-intensidad. También se utiliza para diferenciar entre estados de luz que requieren una descripción mecánica cuántica y aquellos para los que los campos clásicos son suficientes. Se aplican consideraciones análogas a cualquier campo de Bose en física subatómica, en particular a los mesones (cf. correlaciones de Bose-Einstein ).

Grado de coherencia de primer orden

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La función de correlación de primer orden normalizada se escribe como:

Figura 1: Esta es una gráfica del valor absoluto de g ⁽¹⁾ en función del retardo normalizado a la longitud de coherencia τ / τ _c . La curva azul es para un estado coherente (un láser ideal o una sola frecuencia). La curva roja es para la luz caótica de Lorentz (por ejemplo, colisión ampliada). La curva verde es para luz caótica gaussiana (por ejemplo, Doppler ampliado).

${\displaystyle g^{(1)}(\mathbf {r} _{1},t_{1};\mathbf {r} _{2},t_{2})={\frac {\left\langle E^{*}(\mathbf {r} _{1},t_{1})E(\mathbf {r} _{2},t_{2})\right\rangle }{\left[\left\langle \left|E(\mathbf {r} _{1},t_{1})\right|^{2}\right\rangle \left\langle \left|E(\mathbf {r} _{2},t_{2})\right|^{2}\right\rangle \right]^{1/2}}},}$

donde denota un promedio de conjunto (estadístico). Para estados no estacionarios, como pulsos, el conjunto se compone de muchos pulsos. Cuando se trata de estados estacionarios, donde las propiedades estadísticas no cambian con el tiempo, se puede reemplazar el promedio del conjunto con un promedio de tiempo. Si nos limitamos a ondas planas paralelas, entonces . En este caso, el resultado para los estados estacionarios no dependerá de , sino del retraso de tiempo (o si ).${\displaystyle \langle \cdots \rangle }$${\displaystyle \mathbf {r} =z}$${\displaystyle t_{1}}$${\displaystyle \tau =t_{1}-t_{2}}$${\displaystyle \tau =t_{1}-t_{2}-{\frac {z_{1}-z_{2}}{c}}}$${\displaystyle z_{1}\neq z_{2}}$

Esto nos permite escribir una forma simplificada.

${\displaystyle g^{(1)}(\tau )={\frac {\left\langle E^{*}(t)E(t+\tau )\right\rangle }{\left\langle \left|E(t)\right|^{2}\right\rangle }},}$

donde ahora hemos promediado sobre t .

Aplicaciones

En los interferómetros ópticos como el interferómetro de Michelson , el interferómetro de Mach-Zehnder o el interferómetro de Sagnac , uno divide un campo eléctrico en dos componentes, introduce un retardo de tiempo en uno de los componentes y luego los recombina. La intensidad del campo resultante se mide en función del retardo de tiempo. En este caso específico que involucra dos intensidades de entrada iguales, la visibilidad del patrón de interferencia resultante viene dada por: ^[1]

${\displaystyle \nu =|g^{(1)}(\tau )|}$

${\displaystyle \nu =\left|g^{(1)}(\mathbf {r} _{1},t_{1};\mathbf {r} _{2},t_{2})\right|}$

donde la segunda expresión implica combinar dos puntos de espacio-tiempo de un campo. La visibilidad varía de cero, para campos eléctricos incoherentes, a uno, para campos eléctricos coherentes. Cualquier cosa intermedia se describe como parcialmente coherente.

Generalmente y .${\displaystyle g^{(1)}(0)=1}$${\displaystyle g^{(1)}(\tau )=g^{(1)}(-\tau )^{*}}$

Ejemplos de g ⁽¹⁾

Para luz de una sola frecuencia (por ejemplo, luz láser): ${\displaystyle g^{(1)}(\tau )=e^{-i\omega _{0}\tau }}$

Para la luz caótica de Lorentz (por ejemplo, colisión ampliada):${\displaystyle g^{(1)}(\tau )=e^{-i\omega _{0}\tau -(|\tau |/\tau _{c})}}$

Para luz caótica gaussiana (por ejemplo, Doppler ampliado):${\displaystyle g^{(1)}(\tau )=e^{-i\omega _{0}\tau -{\frac {\pi }{2}}(\tau /\tau _{c})^{2}}}$

Aquí, es la frecuencia central de la luz y es el tiempo de coherencia de la luz.${\displaystyle \omega _{0}}$${\displaystyle \tau _{c}}$

Grado de coherencia de segundo orden

La función de correlación de segundo orden normalizada se escribe como:

Figura 2: Esta es una gráfica de g ⁽²⁾ en función del retardo normalizado a la longitud de coherencia τ / τ _c . La curva azul es para un estado coherente (un láser ideal o una sola frecuencia). La curva roja es para la luz caótica de Lorentz (por ejemplo, colisión ampliada). La curva verde es para luz caótica gaussiana (por ejemplo, Doppler ampliado). La luz caótica es superpoissoniana y agrupada.

${\displaystyle g^{(2)}(\mathbf {r} _{1},t_{1};\mathbf {r} _{2},t_{2})={\frac {\left\langle E^{*}(\mathbf {r} _{1},t_{1})E^{*}(\mathbf {r} _{2},t_{2})E(\mathbf {r} _{1},t_{1})E(\mathbf {r} _{2},t_{2})\right\rangle }{\left\langle \left|E(\mathbf {r} _{1},t_{1})\right|^{2}\right\rangle \left\langle \left|E(\mathbf {r} _{2},t_{2})\right|^{2}\right\rangle }}}$

Tenga en cuenta que esto no es una generalización de la coherencia de primer orden

Si los campos eléctricos se consideran clásicos, podemos reordenarlos para que se expresen en términos de intensidades. Una onda plana paralela en un estado estacionario tendrá${\displaystyle g^{(2)}}$

${\displaystyle g^{(2)}(\tau )={\frac {\left\langle I(t)I(t+\tau )\right\rangle }{\left\langle I(t)\right\rangle ^{2}}}}$

La expresión anterior es par ,. Para campos clásicos, se puede aplicar la desigualdad de Cauchy-Schwarz a las intensidades de la expresión anterior (ya que son números reales) para demostrarlo . La desigualdad muestra eso . Asumir independencia de intensidades cuando conduce a . Sin embargo, la coherencia de segundo orden para un promedio sobre franjas de salidas de interferómetro complementarias de un estado coherente es solo 0.5 (aunque para cada salida). Y (calculado a partir de promedios) se puede reducir a cero con un nivel de disparo discriminatorio adecuado aplicado a la señal (dentro del rango de coherencia).${\displaystyle g^{(2)}(\tau )=g^{(2)}(-\tau )}$${\displaystyle g^{(2)}(\tau )\leq g^{(2)}(0)}$${\displaystyle \left\langle I(t)I(t)\right\rangle -{\left\langle I(t)\right\rangle }^{2}=\left\langle {\left[I(t)-\left\langle I(t)\right\rangle \right]}^{2}\right\rangle \geq 0}$${\displaystyle 1\leq g^{(2)}(0)\leq \infty }$${\displaystyle \tau \to +\infty }$${\displaystyle g^{(2)}(+\infty )=1}$${\displaystyle g^{(2)}=1}$${\displaystyle g^{(2)}}$

Ejemplos de g ⁽²⁾

• La luz caótica de todo tipo: .${\displaystyle g^{(2)}(\tau )=1+|g^{(1)}(\tau )|^{2}}$

Tenga en cuenta que el efecto Hanbury Brown y Twiss utiliza este hecho para encontrar a partir de una medida de .${\displaystyle |g^{(1)}(\tau )|}$${\displaystyle g^{(2)}(\tau )}$

• Luz de una sola frecuencia: .${\displaystyle g^{(2)}(\tau )=1}$

• En el caso del antibunching de fotones , tenemos una sola fuente de fotones porque${\displaystyle \tau =0}$${\displaystyle g^{(2)}(0)=0}$

  ${\displaystyle g^{(2)}(0)={\frac {\left\langle n(n-1)\right\rangle }{\left\langle n\right\rangle ^{2}}},}$

  donde es el número de fotones observable. ^[2]${\displaystyle n}$

Grado de coherencia de n -ésimo orden

Una generalización de la coherencia de primer orden

${\displaystyle g^{(n)}(\mathbf {r} _{1},t_{1};\mathbf {r} _{2},t_{2};\dots ;\mathbf {r} _{2n},t_{2n})={\frac {\left\langle E^{*}(\mathbf {r} _{1},t_{1})E^{*}(\mathbf {r} _{2},t_{2})\cdots E^{*}(\mathbf {r} _{n},t_{n})E(\mathbf {r} _{n+1},t_{n+1})E(\mathbf {r} _{n+2},t_{n+2})\dots E(\mathbf {r} _{2n},t_{2n})\right\rangle }{\left[\left\langle \left|E(\mathbf {r} _{1},t_{1})\right|^{2}\right\rangle \left\langle \left|E(\mathbf {r} _{2},t_{2})\right|^{2}\right\rangle \cdots \left\langle \left|E(\mathbf {r} _{2n},t_{2n})\right|^{2}\right\rangle \right]^{1/2}}}}$

Una generalización de la coherencia de segundo orden

${\displaystyle g^{(n)}(\mathbf {r} _{1},t_{1};\mathbf {r} _{2},t_{2};\dots ;\mathbf {r} _{n},t_{n})={\frac {\left\langle E^{*}(\mathbf {r} _{1},t_{1})E^{*}(\mathbf {r} _{2},t_{2})\cdots E^{*}(\mathbf {r} _{n},t_{n})E(\mathbf {r} _{1},t_{1})E(\mathbf {r} _{2},t_{2})\cdots E(\mathbf {r} _{n},t_{n})\right\rangle }{\left\langle \left|E(\mathbf {r} _{1},t_{1})\right|^{2}\right\rangle \left\langle \left|E(\mathbf {r} _{2},t_{2})\right|^{2}\right\rangle \cdots \left\langle \left|E(\mathbf {r} _{n},t_{n})\right|^{2}\right\rangle }}}$

o en intensidades

${\displaystyle g^{(n)}(\mathbf {r} _{1},t_{1};\mathbf {r} _{2},t_{2};\dots ;\mathbf {r} _{n},t_{n})={\frac {\langle I(\mathbf {r} _{1},t_{1})I(\mathbf {r} _{2},t_{2})\cdots I(\mathbf {r} _{n},t_{n})\rangle }{\langle I(\mathbf {r} _{1},t_{1})\rangle \langle I(\mathbf {r} _{2},t_{2})\rangle \cdots \langle I(\mathbf {r} _{n},t_{n})\rangle }}}$

Ejemplos de g ^{( n )}

Luz de una sola frecuencia:

${\displaystyle g^{(n)}(\mathbf {r} _{1},t_{1};\mathbf {r} _{2},t_{2};\dots ;\mathbf {r} _{n},t_{n})=1}$

Usando la primera definición: luz caótica de todo tipo: ${\displaystyle g^{(n)}(\infty )=0}$

Usando la segunda definición: luz caótica de todo tipo: luz caótica de todo tipo:${\displaystyle g^{(n)}(\infty )=1}$${\displaystyle g^{(n)}(0)=n!}$

Generalización a campos cuánticos

Figura 3: Esta es una gráfica de g ⁽²⁾ en función del retardo normalizado a la longitud de coherencia τ / τ _c . Un valor de g ⁽²⁾ por debajo de la línea negra discontinua solo puede ocurrir en un modelo mecánico cuántico de luz. La curva muestra de color rojo la g ⁽²⁾ de la antibunched y luz sub-Poissonian emitida desde un solo átomo impulsado por un rayo láser.

Las predicciones de para n > 1 cambian cuando los campos clásicos ( números complejos o números c ) se reemplazan con campos cuánticos (operadores o números q ). En general, los campos cuánticos no se conmutan necesariamente, con la consecuencia de que su orden en las expresiones anteriores no se puede intercambiar simplemente.${\displaystyle g^{(n)}}$

${\displaystyle E^{*}\rightarrow {\hat {E}}^{-}}$

${\displaystyle E\rightarrow {\hat {E}}^{+}.}$

Con

${\displaystyle {\hat {E}}^{-}=-i\left({\frac {\hbar \omega }{2\epsilon _{0}V}}\right)^{1/2}{\hat {a}}^{\dagger }e^{-i(kz-\omega t)}}$

obtenemos en el caso de la luz estacionaria:

${\displaystyle g^{(2)}={\frac {\left\langle {\hat {a}}^{\dagger }(t){\hat {a}}^{\dagger }(t+\tau ){\hat {a}}(t+\tau ){\hat {a}}(t)\right\rangle }{\left\langle {\hat {a}}^{\dagger }(t){\hat {a}}(t)\right\rangle ^{2}}}}$

Agrupación de fotones

Figura 4: Esta es una gráfica de g ⁽²⁾ en función del retardo normalizado a la longitud de coherencia τ / τ _c . Este es un ejemplo de ag ⁽²⁾ que indica la luz antibunched pero no luz sub-Poissonian .

Figura 5: Detecciones de fotones en función del tiempo para a) antibunching (por ejemplo, luz emitida por un solo átomo), b) aleatorio (por ejemplo, un estado coherente, rayo láser) yc) agrupamiento (luz caótica). τ _c es el tiempo de coherencia (la escala de tiempo de las fluctuaciones de fotones o de intensidad).

Se dice que la luz está agrupada si y no bloqueada si .${\displaystyle g^{(2)}(\tau )<g^{(2)}(0)}$${\displaystyle g^{(2)}(\tau )>g^{(2)}(0)}$

Ver también

• Correlaciones de Bose-Einstein
• Teoría de la coherencia
• Correlación y dependencia
• Espectroscopia de transformada de Fourier
• Normalmente distribuido y no correlacionado no implica independiente
• Autocorrelación óptica

Referencias

1. "Copia archivada" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 22 de enero de 2017 . Consultado el 25 de septiembre de 2016 .
2. FOTONES ÚNICAS PARA EL PROCESAMIENTO DE INFORMACIÓN CUÁNTICA - http://www.stanford.edu/group/yamamotogroup/Thesis/DFthesis.pdf

Lectura sugerida

• Loudon, Rodney, La teoría cuántica de la luz (Oxford University Press, 2000), ISBN 0-19-850177-3