En álgebra, dada una álgebra graduada diferencial A sobre un anillo conmutativo R , el functor producto tensorial derivado es
dónde y son las categorías de módulos A derechos y módulos A izquierdos y D se refiere a la categoría de homotopía (es decir, categoría derivada ). [1] Por definición, es el functor derivado por la izquierda del functor producto tensorial .
Producto tensorial derivado en la teoría de anillos derivados
Si R es un anillo ordinario y M , N módulos derecho e izquierdo sobre él, entonces, considerándolos como espectros discretos, uno puede formar el producto aplastante de ellos:
cuya i -ésima homotopía es la i -ésima Tor:
- .
Se llama el producto tensorial derivado de M y N . En particular,es la usual producto tensorial de módulos M y N más de R .
Geométricamente, el producto tensorial derivado corresponde al producto de intersección (de esquemas derivados ).
Ejemplo : Sea R un anillo conmutativo simple, Q ( R ) → R un reemplazo cofibrante yser el módulo de los diferenciales de Kähler. Luego
es un R -módulo llamado la cotangente complejo de R . Es functorial en R : cada R → S da lugar a. Luego, para cada R → S , está la secuencia de cofibras de módulos S
El cofiber se llama complejo cotangente relativo.
Ver también
- esquema derivado (el producto tensorial derivado da una versión derivada de una intersección de la teoría del esquema ).
Notas
- ↑ Hinich, Vladimir (11 de febrero de 1997). "Álgebra homológica de álgebras de homotopía". arXiv : q-alg / 9702015 .
Referencias
- Lurie, J., Geometría algebraica espectral (en construcción)
- Lección 4 de la Parte II de Moerdijk-Toen, Métodos Simpliciales para Operadas y Geometría Algebraica
- Ch. 2.2. del HAG II de Toen-Vezzosi