Teoría de la intersección
En matemáticas , la teoría de la intersección es una de las principales ramas de la geometría algebraica , donde proporciona información sobre la intersección de dos subvariedades de una variedad determinada. [1] La teoría de las variedades es más antigua, con raíces en el teorema de Bézout sobre las curvas y la teoría de la eliminación . Por otro lado, la teoría topológica alcanzó más rápidamente una forma definitiva.
Todavía hay un desarrollo continuo de la teoría de la intersección. Actualmente, el enfoque principal está en: ciclos fundamentales virtuales, anillos de intersección cuántica, teoría de Gromov-Witten y la extensión de la teoría de intersección de esquemas a pilas . [2]
Para una variedad orientada conectada M de dimensión 2 n, la forma de intersección se define en el n -ésimo grupo de cohomología (lo que generalmente se llama la 'dimensión media') mediante la evaluación del producto de copa en la clase fundamental [ M ] en H 2 n ( M , ∂ M ) . Dicho con precisión, existe una forma bilineal
Esta es una forma simétrica para n par (por lo que 2 n = 4 k doble par ), en cuyo caso la firma de M se define como la firma de la forma, y una forma alterna para n impar (por lo que 2 n = 4 k + 2 es individualmente par ). Estos pueden denominarse uniformemente formas ε-simétricas , donde ε = (−1) n = ± 1 respectivamente para las formas simétricas y asimétricas. En algunas circunstancias, es posible refinar esta forma a un ε-forma cuadrática , aunque esto requiere datos adicionales como un encuadre del paquete tangente. Es posible eliminar la condición de orientabilidad y trabajar con coeficientes Z / 2 Z en su lugar.
Estas formas son importantes invariantes topológicos . Por ejemplo, un teorema de Michael Freedman establece que los 4 colectores compactos simplemente conectados están (casi) determinados por sus formas de intersección hasta el homeomorfismo .
Por la dualidad de Poincaré , resulta que hay una forma de pensar esto geométricamente. Si es posible, elegir representante n subvariedades -dimensional A , B para los duales Poincaré de una y b . Entonces λ M ( a , b ) es el número de intersección orientada de A y B , que está bien definido porque, dado que las dimensiones de A y B suman la dimensión total de M , generalmente se cruzan en puntos aislados. Esto explica la terminologíaforma de intersección .
