En matemáticas , en particular en álgebra abstracta y topología , un álgebra graduada diferencial es un álgebra graduada con una estructura compleja de cadena agregada que respeta la estructura del álgebra.
Definición
Un álgebra graduada diferencial (o simplemente DG-álgebra ) A es un álgebra graduada equipada con un mapa que tiene grado 1 (convención del complejo cochain) o grado (convención de cadena compleja) que satisface dos condiciones:
- .
Esto dice que d le da a A la estructura de un complejo de cadena o complejo de cocadena (en consecuencia, a medida que el diferencial se reduce o aumenta el grado). - , donde deg es el grado de elementos homogéneos.
Esto dice que el diferencial d respeta la regla graduada de Leibniz .
Una forma más sucinta de enunciar la misma definición es decir que un DG-álgebra es un objeto monoide en la categoría monoidal de complejos de cadena. Un morfismo DG entre DG-álgebras es un homomorfismo de álgebra graduada que respeta el diferencial d .
Un álgebra aumentada graduada diferencial (también llamada álgebra DGA, álgebra DG aumentada o simplemente DGA ) es una álgebra DG equipada con un morfismo DG al anillo de tierra (la terminología se debe a Henri Cartan ). [1]
Advertencia: algunas fuentes usan el término DGA para un DG-álgebra.
Ejemplos de DG-álgebras
Álgebra tensorial
El álgebra tensorial es un DG-álgebra con diferencial similar al del complejo de Koszul. Para un espacio vectorial sobre un campo hay un espacio vectorial graduado definido como
dónde . Si es una base para hay un diferencial en el álgebra tensorial definida componente sabio
enviando elementos base a
Esto tiene un producto canónico dado por elementos tensores.
Complejo de Koszul
Uno de los ejemplos fundamentales de un álgebra graduada diferencial, ampliamente utilizada en álgebra conmutativa y geometría algebraica, es el complejo de Koszul . Esto se debe a su amplia gama de aplicaciones, incluida la construcción de resoluciones planas de intersecciones completas, y desde una perspectiva derivada , dan el álgebra derivada que representa un locus crítico derivado.
Álgebra de De-Rham
Las formas diferenciales en una variedad , junto con la derivación exterior y el producto exterior forman un DG-álgebra. Estos tienen amplias aplicaciones, incluso en la teoría de la deformación derivada . [2] Véase también la cohomología de De Rham .
Cohomología singular
- La cohomología singular de un espacio topológico con coeficientes enes un DG-álgebra: el diferencial está dado por el homomorfismo de Bockstein asociado a la secuencia corta exacta, y el producto viene dado por el producto de taza . Este álgebra graduada diferencial se utilizó para ayudar a calcular la cohomología de los espacios de Eilenberg-MacLane en el seminario de Cartan. [3] [4]
Otros hechos sobre DG-álgebras
- La homologia de un DG-álgebra es un álgebra graduada. La homología de un álgebra DGA es un álgebra aumentada .
Ver también
- Álgebra asociativa de homotopía
- Categoría graduada diferencial
- Álgebra de mentira graduada diferencial
- Esquema diferencial graduado (que se obtiene pegando los espectros de álgebras graduadas diferenciales graduales conmutativas con respecto a la topología étale).
- Módulo graduado diferencial
Referencias
- ^ Cartan, Henri (1954). "Sur les groupes d'Eilenberg-Mac Lane" . Proceedings de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . 40 (6): 467-471. Doi : 10.1073 / pnas.40.6.467 . PMC 534.072 . PMID 16589508 .
- ^ Manetti. "Álgebras de Lie diferenciadas graduadas y teoría formal de la deformación" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 16 de junio de 2013.
- ^ Cartan, H. (1954-1955). "DGA-algèbres et DGA-modules" . Séminaire Henri Cartan . 7 (1): 1–9.
- ^ Cartan, H. (1954-1955). "Módulos DGA (suite), noción de construcción" . Séminaire Henri Cartan . 7 (1): 1–11.
- Manin, Yuri Ivanovich ; Gelfand, Sergei I. (2003), Métodos de álgebra homológica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-43583-9, ver secciones V.3 y V.5.6