En geometría algebraica , un esquema derivado es un parque consta de un espacio topológico X y una gavilla de espectros de anillo conmutativo [1] en X tal que (1) el pares un esquema y (2)es un cuasi-coherente - módulo . La noción da una generalización teórica de homotopía de un esquema.
Una pila derivada es una generalización apilada de un esquema derivado.
Esquema graduado diferencial
Sobre un campo de característica cero, la teoría es equivalente a la de un esquema graduado diferencial. Por definición, un esquema graduado diferencial se obtiene pegando esquemas graduales diferenciales afines, con respecto a la topología étale . [2] Fue introducido por Maxim Kontsevich [3] "como el primer acercamiento a la geometría algebraica derivada". [4] y fue desarrollado por Mikhail Kapranov e Ionut Ciocan-Fontanine.
Conexión con anillos graduales diferenciales y ejemplos
Así como la geometría algebraica afín es equivalente (en sentido categórico ) a la teoría de los anillos conmutativos (comúnmente llamada álgebra conmutativa ), la geometría algebraica derivada afín sobre el cero característico es equivalente a la teoría de los anillos graduales diferenciales conmutativos . Uno de los principales ejemplos de esquemas derivados proviene de la intersección derivada de subesquemas de un esquema, dando el complejo de Koszul . Por ejemplo, deja, entonces podemos obtener un esquema derivado
dónde
es el espectro étale . [ cita requerida ] Ya que podemos construir una resolución
el anillo derivado es el complejo de koszul . El truncamiento de este esquema derivado a amplitudproporciona un modelo clásico que motiva la geometría algebraica derivada. Note que si tenemos un esquema proyectivo
dónde podemos construir el esquema derivado dónde
con amplitud
Complejo cotangente
Construcción
Dejar ser un álgebra graduada diferencial fija definida sobre un campo de características . Entonces un-álgebra graduada diferencial se llama semi-libre si se cumplen las siguientes condiciones:
- El álgebra graduada subyacente es un álgebra polinomial sobre , lo que significa que es isomorfo a
- Existe una filtración en el conjunto de indexación dónde y para cualquier .
Resulta que cada El álgebra graduada diferencial admite un cuasi-isomorfismo sobreyectivo de un álgebra graduada diferencial, llamada resolución semi-libre. Estos son únicos hasta la equivalencia de homotopía en una categoría de modelo adecuada. El complejo (relativo) cotangente de un-álgebra graduada diferencial se puede construir usando una resolución semi-libre : se define como
Se pueden construir muchos ejemplos tomando el álgebra representando una variedad sobre un campo de característica 0, encontrando una presentación de como cociente de un álgebra polinomial y tomando el complejo de Koszul asociado a esta presentación. El complejo de Koszul actúa como una resolución semi-libre del álgebra graduada diferencial dónde es el álgebra calificada con la pieza calificada no trivial en grado 0.
Ejemplos de
El complejo cotangente de una hipersuperficie se puede calcular fácilmente: ya que tenemos el dga que representa la mejora derivada de, podemos calcular el complejo cotangente como
dónde y es la derivación universal habitual. Si tomamos una intersección completa, entonces el complejo koszul
es cuasi-isomorfo al complejo
Esto implica que podemos construir el complejo cotangente del anillo derivado. como el producto tensorial del complejo cotangente anterior para cada .
Observaciones
Tenga en cuenta que el complejo cotangente en el contexto de la geometría derivada difiere del complejo cotangente de los esquemas clásicos. Es decir, si hubiera una singularidad en la hipersuperficie definida porentonces el complejo cotangente tendría una amplitud infinita. Estas observaciones proporcionan motivación para la filosofía de suavidad oculta de la geometría derivada, ya que ahora estamos trabajando con un complejo de longitud finita.
Complejos tangentes
Funciones polinomiales
Dada una función polinomial luego considere el diagrama de retroceso (homotopía)
donde la flecha inferior es la inclusión de un punto en el origen. Entonces, el esquema derivado tiene complejo tangente en viene dado por el morfismo
donde el complejo es de amplitud . Observe que el espacio tangente se puede recuperar usando y el mide que tan lejos es de ser un punto liso.
Cocientes de pila
Dada una pila hay una buena descripción del complejo tangente:
Si el morfismo no es inyectivo, el mide de nuevo cuán singular es el espacio. Además, la característica de Euler de este complejo produce la dimensión correcta (virtual) de la pila del cociente. En particular, si miramos la pila de módulos de principal-bundles, entonces el complejo tangente es solo .
Esquemas derivados en la teoría de Morse compleja
Los esquemas derivados se pueden utilizar para analizar las propiedades topológicas de variedades afines. Por ejemplo, considere una variedad afín suave. Si tomamos una función regular y considere la sección de
Entonces, podemos tomar el diagrama de retroceso derivado
dónde es la sección cero, construyendo un locus crítico derivado de la función regular.
Ejemplo
Considere la variedad afín
y la función regular dada por . Luego,
donde tratamos las dos últimas coordenadas como . El locus crítico derivado es entonces el esquema derivado
Tenga en cuenta que dado que el término de la izquierda en la intersección derivada es una intersección completa, podemos calcular un complejo que representa el anillo derivado como
dónde es el complejo de koszul.
Locus crítico derivado
Considere una función suave dónde es suave. La mejora derivada de, el locus crítico derivado , viene dado por el esquema graduado diferencial donde el anillo graduado subyacente son los campos de polivector
y el diferencial se define por contracción por .
Ejemplo
Por ejemplo, si
tenemos el complejo
que representa la mejora derivada de .
Notas
- ^ también a menudo llamadoespectros de anillo
- ↑ Behrend, Kai (16 de diciembre de 2002). "Esquemas graduales diferenciales I: álgebras de resolución perfecta". arXiv : matemáticas / 0212225 . Bibcode : 2002math ..... 12225B . Cite journal requiere
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( ayuda ) - ^ Kontsevich, M. (5 de mayo de 1994). "Enumeración de curvas racionales mediante acciones toroidales". arXiv : hep-th / 9405035 .
- ^ http://ncatlab.org/nlab/show/dg-scheme
Referencias
- Alcanzando la geometría algebraica derivada - Mathoverflow
- M. Anel, La geometría de la ambigüedad
- K. Behrend, Sobre la clase fundamental virtual
- P. Goerss, formas modulares topológicas [según Hopkins, Miller y Lurie]
- B. Toën, Introducción a la geometría algebraica derivada
- M. Manetti, El complejo cotangente en la característica 0
- G. Vezzosi, El locus crítico derivado I - conceptos básicos