En la geometría diferencial clásica , el desarrollo se refiere a la simple idea de hacer rodar una superficie lisa sobre otra en el espacio euclidiano . Por ejemplo, el plano tangente a una superficie (como la esfera o el cilindro ) en un punto se puede rodar alrededor de la superficie para obtener el plano tangente en otros puntos.
Propiedades
El contacto tangencial entre las superficies que se enrollan una sobre otra proporciona una relación entre los puntos de las dos superficies. Si esta relación es (quizás sólo en un sentido local ) una biyección entre las superficies, entonces se dice que las dos superficies pueden desarrollarse entre sí o desarrollarse entre sí. Dicho de otra manera, la correspondencia proporciona una isometría , localmente, entre las dos superficies.
En particular, si una de las superficies es un plano, la otra se denomina superficie desarrollable : por tanto, una superficie desarrollable es aquella que es localmente isométrica a un plano. El cilindro se puede desarrollar, pero la esfera no.
Conexiones planas
El desarrollo se puede generalizar aún más utilizando conexiones planas. Desde este punto de vista, hacer rodar el plano tangente sobre una superficie define una conexión afín en la superficie (proporciona un ejemplo de transporte paralelo a lo largo de una curva ), y una superficie desarrollable es aquella en la que esta conexión es plana.
De manera más general, cualquier conexión Cartan plana en un colector define un desarrollo de ese colector en el espacio modelo . Quizás el ejemplo más famoso es el desarrollo de n- múltiples conformadamente planas , en las que el espacio modelo es la n -esfera. El desarrollo de una variedad conformemente plana es un difeomorfismo local conforme de la cubierta universal de la variedad a la n -esfera.
Superficies sin desarrollar
La clase de superficies de doble curva (superficies sin desarrollar) contiene objetos que no se pueden desplegar (revelar) simplemente. Tales superficies se pueden desarrollar solo aproximadamente con algunas distorsiones de elementos de superficie lineal (consulte el método de cuadrícula estirada )
Ver también
Referencias
- Sharpe, RW (1997). Geometría diferencial: generalización de Cartan del programa Erlangen de Klein . Springer-Verlag, Nueva York. ISBN 0-387-94732-9.