Morfismo diagonal (geometría algebraica)

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En geometría algebraica, dado un morfismo de esquemas , el morfismo diagonal${\ Displaystyle p: X \ a S}$

es un morfismo determinado por la propiedad universal del producto fibroso de p y p aplicado a la identidad y la identidad .${\ Displaystyle X \ times _ {S} X}$${\ Displaystyle 1_ {X}: X \ a X}$${\ Displaystyle 1_ {X}}$

Es un caso especial de morfismo gráfico : dado un morfismo sobre S , el morfismo gráfico del mismo es inducido por y la identidad . La incrustación diagonal es el morfismo gráfico de .${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle X\to X\times _{S}Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle 1_{X}}$${\displaystyle 1_{X}}$

Por definición, X es un esquema separado sobre S ( es un morfismo separado ) si el morfismo diagonal es una inmersión cerrada . Además, un morfismo localmente de presentación finita es un morfismo no ramificado si y solo si la incrustación diagonal es una inmersión abierta.${\displaystyle p:X\to S}$${\displaystyle p:X\to S}$

Como ejemplo, considere una variedad algebraica sobre un campo k algebraicamente cerrado y el mapa de estructura. Luego, identificando X con el conjunto de sus k -puntos racionales, y se da como ; de ahí el nombre de morfismo diagonal.${\displaystyle p:X\to \operatorname {Spec} (k)}$${\displaystyle X\times _{k}X=\{(x,y)\in X\times X\}}$${\displaystyle \delta :X\to X\times _{k}X}$${\displaystyle x\mapsto (x,x)}$

Un morfismo separado es un morfismo tal que el producto de la fibra de consigo mismo a lo largo tiene su diagonal como un subesquema cerrado; en otras palabras, el morfismo diagonal es una inmersión cerrada .${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

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