En geometría algebraica, un morfismo de esquemas generaliza un morfismo de variedades algebraicas al igual que un esquema generaliza una variedad algebraica . Es, por definición, un morfismo en la categoría de esquemas.
Un morfismo de pilas algebraicas generaliza un morfismo de esquemas.
Definición
Por definición, un morfismo de esquemas es solo un morfismo de espacios anillados localmente .
Un esquema, por definición, tiene gráficos afines abiertos y, por lo tanto, un morfismo de esquemas también se puede describir en términos de tales gráficos (compare la definición de morfismo de variedades ). [1] Sea ƒ: X → Y un morfismo de esquemas. Si x es un punto de X , ya que ƒ es continua, hay subconjuntos afines abiertos U = Spec A de X que contienen x y V = Spec B de Y tal que ƒ ( U ) ⊂ V . Entonces ƒ: U → V es un morfismo de esquemas afines y, por lo tanto, es inducido por algún homomorfismo de anillo B → A (véase el caso #Affine ). De hecho, se puede usar esta descripción para "definir" un morfismo de esquemas; se dice que ƒ: X → Y es un morfismo de esquemas si es inducido localmente por homomorfismos de anillo entre anillos coordinados de cartas afines.
- Nota : No sería deseable definir un morfismo de esquemas como un morfismo de espacios anillados. Una razón trivial es que hay un ejemplo de un morfismo de espacio anillado entre esquemas afines que no es inducido por un homomorfismo anular (por ejemplo, [2] un morfismo de espacios anillados:
- que envía el punto único as y que viene con .) Más conceptualmente, la definición del morfismo de los esquemas debe capturar la "naturaleza Zariski-local" o la localización de los anillos ; [3] este punto de vista (es decir, un espacio anillado local) es esencial para una generalización (topos).
Sea f : X → Y un morfismo de esquemas con. Luego, para cada punto x de X , los homomorfismos en los tallos:
es un homomorfismo de anillo local : es decir,y así induce un homomorfismo inyectivo de campos de residuos
- .
(De hecho, φ mapas º n poder-ésima de un máximo ideal para la n potencia-ésimo de la máxima ideal y por lo tanto induce el mapa entre los Zariski espacios cotangente () ).
Para cada esquema X , hay un morfismo natural
que es un isomorfismo si y solo si X es afín; θ se obtiene por encolado U → diana que provienen de restricciones para abrir afín subconjuntos U de X . Este hecho también se puede afirmar de la siguiente manera: para cualquier esquema X y un anillo A , existe una biyección natural:
(Prueba: El mapa de derecha a izquierda es la biyección requerida. En resumen, θ es un complemento.)
Además, este hecho (relación adjunta) se puede utilizar para caracterizar un esquema afín : un esquema X es afín si y solo si para cada esquema S , el mapa natural
es biyectiva. [4] (Prueba: si los mapas son biyectivos, entoncesy X es isomorfo apor el lema de Yoneda ; lo contrario es claro.)
Un morfismo como esquema relativo
Arregle un esquema S , llamado esquema base . Entonces un morfismose llama un esquema sobre S o un S -esquema; la idea de la terminología es que es un esquema X junto con un mapa para el esquema de base S . Por ejemplo, un paquete del vector E → S sobre un sistema S es un S -Esquema.
Un S -morfismo de p : X → S a q : Y → S es un morfismo ƒ: X → Y de esquemas tales que p = q ∘ ƒ. Dado un esquema S, viendo S como un S -esquema sobre sí mismo a través del mapa de identidad, un S -morfismose llama sección S o simplemente sección .
Todos los esquemas S forman una categoría: un objeto en la categoría es un esquema S y un morfismo en la categoría es un morfismo S. (En resumen, esta categoría es la categoría de corte de la categoría de esquemas con el objeto base S ).
Caso afín
Dejar ser un homomorfismo de anillo y dejar
ser el mapa inducido. Luego
- es continuo. [5]
- Si es sobreyectiva, entonces es un homeomorfismo sobre su imagen. [6]
- Por cada ideal I de A ,[7]
- tiene una imagen densa si y solo si el núcleo de consta de elementos nilpotentes. (Prueba: la fórmula anterior con I = 0.) En particular, cuando B se reduce, tiene una imagen densa si y solo si es inyectable.
Sea f : Spec A → Spec B un morfismo de esquemas entre esquemas afines con el mapa de retroceso: B → A . Que es un morfismo de espacios anillados localmente se traduce en la siguiente afirmación: sies un punto de Spec A ,
- .
(Prueba: en general, consta de g en A que tiene una imagen cero en el campo de residuos k ( x ); es decir, tiene la imagen en el ideal máximo. Así, trabajando en los anillos locales,. Si, luego es un elemento unitario y por lo tanto es un elemento unitario.)
Por lo tanto, cada homomorfismo de anillo B → A define un morfismo de esquemas Spec A → Spec B y, a la inversa, todos los morfismos entre ellos surgen de esta manera.
Ejemplos de
Los básicos
- Sea R un campo oPara cada R -álgebra A , especificar un elemento de A , digamos f en A , es dar un R -algebra homomorfismo tal que . Por lo tanto,. Si X es un esquema sobre S = Spec R , entonces tomando y usando el hecho de que Spec es un adjunto derecho al functor de sección global, obtenemos dónde . Tenga en cuenta que la igualdad es la de los anillos.
- De manera similar, para cualquier S -esquema X , existe la identificación de los grupos multiplicativos: dónde es el esquema de grupo multiplicativo.
- Muchos ejemplos de morfismos provienen de familias parametrizadas por algún espacio base. Por ejemplo, es un morfismo proyectivo de variedades proyectivas donde el espacio base parametriza cuadrículas en .
Morfismo gráfico
Dado un morfismo de esquemas sobre un esquema S , el morfismo inducida por la identidad y f se denomina morfismo gráfico de f . El morfismo gráfico de la identidad se denomina morfismo diagonal .
Tipos de morfismos
Tipo finito
Los morfismos de tipo finito son una de las herramientas básicas para construir familias de variedades. Un morfismo es de tipo finito si existe una cubierta tal que las fibras puede ser cubierto por un número finito de esquemas afines haciendo los morfismos de anillo inducidos en morfismos de tipo finito . Un ejemplo típico de morfismo de tipo finito es una familia de esquemas. Por ejemplo,
es un morfismo de tipo finito. Un simple no ejemplo de un morfismo de tipo finito es dónde es un campo. Otro es una unión desarticulada infinita
Inmersión cerrada
Un morfismo de esquemas es una inmersión cerrada si se cumplen las siguientes condiciones:
- define un homeomorfismo de en su imagen
- es sobreyectiva
Esta condición es equivalente a lo siguiente: dado un afín abierto existe un ideal tal que
Ejemplos de
Por supuesto, cualquier cociente (calificado) define un subesquema de (). Considere el esquema cuasi afín y el subconjunto de la -eje contenido en . Entonces, si tomamos el subconjunto abierto la gavilla ideal es mientras que en el afín abierto no hay un ideal ya que el subconjunto no se cruza con este gráfico.
Apartado
Los morfismos separados definen familias de esquemas que son "Hausdorff". Por ejemplo, dado un morfismo separado en los espacios analíticos asociados son ambos Hausdorff. Decimos un morfismo de esquema se separa si el morfismo diagonal es una inmersión cerrada. En topología, una condición equivalente para un espacio ser Hausdorff es si el conjunto diagonal
es un subconjunto cerrado de .
Ejemplos de
La mayoría de los morfismos encontrados en la teoría de esquemas estarán separados. Por ejemplo, considere el esquema afín
encima Dado que el esquema de producto es
el ideal que define la diagonal es generado por
mostrando el esquema diagonal es afín y cerrado. Este mismo cálculo se puede utilizar para mostrar que los esquemas proyectivos también están separados.
No ejemplos
El único momento en que se debe tener cuidado es cuando se une una familia de esquemas. Por ejemplo, si tomamos el diagrama de inclusiones
luego obtenemos el análogo de la teoría de esquemas de la línea clásica con dos orígenes.
Adecuado
Un morfismo se llama propio si
- esta separado
- de tipo finito
- universalmente cerrado
La última condición significa que dado un morfismo el morfismo de cambio de base es una inmersión cerrada. La mayoría de los ejemplos conocidos de morfismos propios son de hecho proyectivos; pero se pueden encontrar ejemplos de variedades propias que no son proyectivas utilizando geometría tórica .
Descriptivo
Los morfismos proyectivos definen familias de variedades proyectivas sobre un esquema de base fijo. Tenga en cuenta que hay dos definiciones: Hartshornes, que establece que un morfismo se llama proyectiva si existe una inmersión cerrada y la definición de EGA que establece que un esquema es proyectiva si hay un cuasi coherente -módulo de tipo finito tal que hay una inmersión cerrada . La segunda definición es útil porque una secuencia exacta de Los módulos se pueden utilizar para definir morfismos proyectivos.
Morfismo proyectivo sobre un punto
Un morfismo proyectivo define un esquema proyectivo. Por ejemplo,
define una curva proyectiva de género encima .
Familia de hipersuperficies proyectivas
Si dejamos luego el morfismo proyectivo
define una familia de variedades Calabi-Yau que degeneran.
Lápiz Lefschetz
Otra clase útil de ejemplos de morfismos proyectivos son los lápices de Lefschetz: son morfismos proyectivos sobre un campo . Por ejemplo, dadas hipersuperficies lisas definido por los polinomios homogéneos hay un morfismo proyectivo
dando el lápiz.
Proyectiva EGA
Un buen ejemplo clásico de un esquema proyectivo es la construcción de morfismos proyectivos que se factorizan a través de pergaminos racionales. Por ejemplo, tome y el paquete de vectores . Esto se puede utilizar para construir un-manojo encima . Si queremos construir un morfismo proyectivo usando esta gavilla podemos tomar una secuencia exacta, como
que define la gavilla de estructura del esquema proyectivo en
Departamento
Intuición
Los morfismos planos tienen una definición algebraica pero tienen una interpretación geométrica muy concreta: las familias planas corresponden a familias de variedades que varían "continuamente". Por ejemplo,
es una familia de curvas cuadráticas afines suaves que degeneran en el divisor de cruce normal
Al origen.
Propiedades
Una propiedad importante que debe satisfacer un morfismo plano es que las dimensiones de las fibras deben ser las mismas. Un simple no ejemplo de morfismo plano es una explosión, ya que las fibras son puntos o copias de algunos.
Definición
Dejar ser un morfismo de esquemas. Nosotros decimos eso es plano en un punto si el morfismo inducido produce un functor exacto Luego, es plano si es plano en todos los puntos de. También es fielmente plano si se trata de un morfismo sobreyectivo.
No ejemplo
Usando nuestra intuición geométrica, es obvio que
no es plana ya que la fibra sobre es con el resto de las fibras son solo un punto. Pero, también podemos verificar esto usando la definición con álgebra local: Considere el ideal Desde obtenemos un morfismo de álgebra local
Si tensamos
con , el mapa
tiene un kernel distinto de cero debido a la desaparición de . Esto muestra que el morfismo no es plano.
Sin ramificar
Un morfismo de esquemas afines no se refuerza si. Podemos usar esto para el caso general de un morfismo de esquemas.. Nosotros decimos eso está unramificado en si hay un vecindario abierto afín y un afín abierto tal que y Entonces, el morfismo se desramifica si se desramifica en todos los puntos de .
Ejemplo geométrico
Un ejemplo de un morfismo que es plano y genéricamente sin ramificar, excepto en un punto, es
Podemos calcular las diferencias relativas usando la secuencia
demostración
si tomamos la fibra , entonces el morfismo se ramifica ya que
de lo contrario tenemos
mostrando que no está ramificado en todas partes.
Etale
Un morfismo de esquemas se llama étale si es plano y desarmado. Estos son el análogo álgebro-geométrico de cubrir espacios. Los dos ejemplos principales en los que pensar son los espacios de cobertura y las extensiones de campo separables finitas. Los ejemplos en el primer caso se pueden construir mirando las cubiertas ramificadas y restringiendo al locus sin ramificar.
Morfismos como puntos
Por definición, si X , S son esquemas (sobre algún esquema base o anillo B ), entonces un morfismo de S a X (sobre B ) es un punto S de X y uno escribe:
para el conjunto de todos los S -puntos de X . Esta noción generaliza la noción de soluciones a un sistema de ecuaciones polinomiales en geometría algebraica clásica. De hecho, sea X = Spec ( A ) con. Para un B -algebra R , dar un R -punto de X es dar un homomorfismo de álgebra A → R , que a su vez equivale a dar un homomorfismo
eso mata f i 's. Por tanto, existe una identificación natural:
Ejemplo : Si X es un esquema S con mapa de estructura π: X → S , entonces un punto S de X (sobre S ) es lo mismo que una sección de π.
En teoría de categorías , el lema de Yoneda dice que, dada una categoría C , el funtor contravariante
es completamente fiel (donde significa la categoría de pre-despegue en C ). Aplicando el lema a C = la categoría de esquemas sobre B , esto dice que un esquema sobre B está determinado por sus diversos puntos.
Resulta que, de hecho, basta con considerar puntos S con solo esquemas afines S , precisamente porque los esquemas y morfismos entre ellos se obtienen pegando esquemas afines y morfismos entre ellos. Debido a esto, normalmente se escribe X ( R ) = X (Spec R ) y se ve X como un funtor de la categoría de álgebras B conmutativas a Conjuntos .
Ejemplo : Dados los esquemas S X , Y con mapas de estructura p , q ,
- .
Ejemplo : con B todavía denotando un anillo o esquema, para cada B -esquema X , hay una biyección natural
- {Las clases isomorfismo de línea de haces de L en X junto con n + 1 secciones globales generar L . };
de hecho, las secciones s i de L definen un morfismo. (Ver también Proyecto de construcción # Proyecto global ).
Observación : El punto de vista anterior (que se conoce con el nombre de functor de puntos y se debe a Grothendieck) ha tenido un impacto significativo en los fundamentos de la geometría algebraica. Por ejemplo, trabajar con un functor con valor de categoría (pseudo) en lugar de un functor con valor de conjunto conduce a la noción de una pila , que permite realizar un seguimiento de los morfismos entre puntos.
Mapa racional
Un mapa racional de esquemas se define de la misma manera para las variedades. Por lo tanto, un mapa racional de un esquema X reducido a un esquema Y separado es una clase de equivalencia de un parque consta de un subconjunto denso abierto U de X y un morfismo. Si X es irreducible, una función racional en X es, por definición, un mapa racional de X a la línea afín o la linea proyectiva
Un mapa racional es dominante si y solo si envía el punto genérico al punto genérico. [8]
Un homomorfismo de anillo entre campos de funciones no necesita inducir un mapa racional dominante (ni siquiera un mapa racional). [9] Por ejemplo, Spec k [ x ] y Spec k ( x ) y tienen el mismo campo de función (es decir, k ( x )) pero no hay un mapa racional del primero al segundo. Sin embargo, es cierto que cualquier inclusión de campos funcionales de variedades algebraicas induce un mapa racional dominante (ver morfismo de variedades algebraicas # Propiedades ).
Ver también
Notas
- ^ Vakil , ejercicio 6.3.C.
- ^ Vakil , ejercicio 6.2.E.
- ^ http://www.math.harvard.edu/~lurie/papers/DAG-V.pdf , § 1.
- ^ EGA I , cap. Yo, Corollarie 1.6.4.
- ^ Prueba:para todos f en A .
- ^ EGA I , cap. Yo, Corollaire 1.2.4.
- ^ EGA I , cap. I, 1.2.2.3.
- ^ Vakil , ejercicio 6.5.A
- ^ Vakil , párrafo A después del ejercicio 6.5.B
Referencias
- Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 4 . doi : 10.1007 / bf02684778 . Señor 0217083 .
- Hartshorne, Robin (1977), Geometría Algebraica , Textos de Posgrado en Matemáticas , 52 , Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
- Milne, Revisión de la geometría algebraica en grupos algebraicos: la teoría de esquemas de grupo de tipo finito sobre un campo.
- Vakil, Fundamentos de la geometría algebraica