Matriz diagonalizable

En álgebra lineal , una matriz cuadrada  se llama diagonalizable o no defectuosa si es similar a una matriz diagonal , es decir, si existe una matriz invertible  y una matriz diagonal tal que , o equivalentemente . (Tales , no son únicos.) Para un espacio vectorial de dimensión finita , un mapa lineal  se llama diagonalizable si existe una base ordenada de  vectores propios de${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle P ^ {- 1} AP = D}$${\ Displaystyle A = PDP ^ {- 1}}$${\ Displaystyle P}$ ${\ Displaystyle D}$ ${\ Displaystyle V}$ ${\ Displaystyle T: V \ a V}$${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle T}$. Estas definiciones son equivalentes: si  tiene una representación matricial como la anterior, entonces los vectores de columna de  forman una base que consta de vectores propios de , y las entradas diagonales de  son los valores propios correspondientes de ; con respecto a esta base de vector propio,  está representado por . La diagonalización es el proceso de encontrar lo anterior  y .${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle A = PDP ^ {- 1}}$${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle D}$ ${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle D}$

Las matrices y mapas diagonalizables son especialmente fáciles de calcular, una vez que se conocen sus autovalores y autovectores. Uno puede elevar una matriz diagonal  a una potencia simplemente elevando las entradas diagonales a esa potencia, y el determinante de una matriz diagonal es simplemente el producto de todas las entradas diagonales; tales cálculos se generalizan fácilmente a . Geométricamente, una matriz diagonalizable es una dilatación no homogénea (o escala anisotrópica ) - escala el espacio, al igual que una dilatación homogénea , pero por un factor diferente a lo largo de cada eje de vector propio, el factor dado por el valor propio correspondiente.${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle A = PDP ^ {- 1}}$

La diagonalización de una matriz simétrica se puede interpretar como una rotación de los ejes para alinearlos con los autovectores.