En matemáticas , y particularmente en la teoría de conjuntos axiomáticos , el principio de diamante ◊ es un principio combinatorio introducido por Ronald Jensen en Jensen (1972) que se mantiene en el universo construible ( L ) y que implica la hipótesis del continuo . Jensen extrajo el principio del diamante de su prueba de que el axioma de constructibilidad ( V = L ) implica la existencia de un árbol de Suslin .
El principio del diamante ◊ dice que existe un◊-secuencia , en otras palabras, establece A α ⊆ α para α < ω 1 tal que para cualquier subconjunto A deω 1 el conjunto de α con A ∩ α = A α esestacionarioen ω 1 .
Hay varias formas equivalentes del principio del diamante. Uno establece que hay una colección contable A α de subconjuntos de α para cada α ordinal contable tal que para cualquier subconjunto A de ω 1 hay un subconjunto estacionario C de ω 1 tal que para todo α en C tenemos A ∩ α ∈ A α y C ∩ α ∈ A α . Otra forma equivalente establece que existen conjuntos A α ⊆α para α < ω 1 tal que para cualquier subconjunto A de ω 1 hay al menos un α infinito con A ∩ α = A α .
De manera más general, para un número cardinal dado κ y un conjunto estacionario S ⊆ κ , el enunciado ◊ S (a veces escrito ◊ ( S ) o ◊ κ ( S ) ) es el enunciado de que existe una secuencia ⟨A α : α ∈ S ⟩ Tal que
El principio de diamante más ◊ + establece que existe una secuencia ◊ + , en otras palabras, una colección contable A α de subconjuntos de α para cada α ordinal contable, tal que para cualquier subconjunto A de ω 1 hay un subconjunto C cerrado e ilimitado. de ω 1 tal que para todo α en C tenemos A ∩ α ∈ A α y C ∩ α ∈ A α .
Jensen (1972) mostró que el principio del diamante ◊ implica la existencia de árboles de Suslin . También mostró que V = L implica el principio del diamante más, que implica el principio del diamante, que implica CH . En particular, el principio del diamante y el principio del diamante más son independientes de los axiomas de ZFC. También ♣ + CH implica ◊ , pero Shelah dio modelos de ♣ + ¬ CH , por lo que ◊ y ♣ no son equivalentes (más bien, ♣ es más débil que ◊ ).